Náhodné procesy 2 - NMFP403

• Anglický název: Stochastic Processes 2
• Podoba výuky: přednáška+cvičení
• Zajišťuje: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2026
• Počet semestrů výuky: 1
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Maximální kapacita předmětu: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Forma uskutečňování: prezenční
• Je zajišťováno předmětem: NMSA409
• Možnost opakovaného zápisu: 2 / 2 / 2 / 2
• Garant: doc. RNDr. Jiří Dvořák, Ph.D.
• Třída: M Mgr. FPM; M Mgr. FPM > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Finanční a pojistná matematika
• Neslučitelnost : NMSA409
• Záměnnost : NMSA409
• Je korekvizitou pro: NMFP404
• Je neslučitelnost pro: NMSA409

Anotace

čeština

Stacionární proces. Spojitost, derivace a integrál procesu. Spektrální reprezentace. Lineární proces. Ergodicita, centrální limitní věty. Predikce a filtrace. Modely ARMA a jejich statistická analýza.

Poslední úprava: Branda Martin, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

angličtina

Stationary process. Continuity, derivative and integral of a process. Spectral representation. Linear process. Ergodicity, central limit theorems. Predictions and filtrations. ARMA models and their statistical analysis.

Poslední úprava: Branda Martin, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

Cíl předmětu

čeština

Studenti získají základní vědomosti z teorie stacionárních procesů v časové i spektrální doméně. Dále se seznámí se základními statistickými vlastnostmi časových řad.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2022)

angličtina

Students gain basic knowledge of the theory of stationary processes in both time and spectral domain. The aim is also to acquaint students with basic statistical properties of time series.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2022)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Bez zápočtu se nelze zapsat ke zkoušce.

Podmínky pro udělení zápočtu:

1. Získat minimálně 70% z bodů udělených za domácí přípravu formou e-learningu (Moodle)

2. Absolvovat dva písemné testy a z každého získat nejméně 70% z možného počtu bodů.

Ke každému písemnému testu je k dispozici jeden opravný termín. Termíny písemných testů budou oznámeny na začátku semestru na stránce kurzu na platformě Moodle. Opravné testy se píší najednou pro všechny skupiny.

Poslední úprava: Dvořák Jiří, doc. RNDr., Ph.D. (30.07.2026)

angličtina

The subject is terminated with the course credit (zápočet) and exam.

Obtaining the course credit is a necessary condition for signing up for the exam.

Criteria for obtaining the course credit, common for all the groups, are the following:

1. Obtaining at least 70 % of points from regular homeworks (Moodle);

2. Successfully passing two tests during the course, i.e. obtaining at least 70 % of the points in each test. For each test, there will be one chance to retake the test (common for all the groups). The planned terms will be announced at the beginning of the semester in the Moodle platform.

Poslední úprava: Dvořák Jiří, doc. RNDr., Ph.D. (30.07.2026)

Literatura

čeština

Anděl J.: Statistická analýza časových řad. SNTL, Praha 1976

Brockwell P.J., Davis R.A.: Time series: Theory and Methods, Springer-Verlag, New York, 1987

Prášková, Z.: Základy náhodných procesů II. Karolinum, 2004.

Poslední úprava: Hlubinka Daniel, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

angličtina

Anděl J.: Statistická analýza časových řad. SNTL, Praha 1976

Brockwell P.J., Davis R.A.: Time series: Theory and Methods, Springer-Verlag, New York, 1987

Prášková, Z.: Základy náhodných procesů II. Karolinum, 2004.

Poslední úprava: Branda Martin, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

Metody výuky

čeština

Přednáška + cvičení.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2022)

angličtina

Lecture + exercises.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2022)

Kontroly studia předmětu a podmínky pro jejich úspěšné vykonání, způsob hodnocení

čeština

Zkouška je písemná a ústní.

Písemná zkouška trvá 70 minut. Jsou zadány 3 úlohy, ze kterých je nutno získat nejméně 50% z možných bodů, jinak nelze pokračovat v ústní zkoušce a celkový výsledek je "neprospěl/a".

Ústní zkouška pokrývá sylabus v rozsahu přednesené látky.

Poslední úprava: Dvořák Jiří, doc. RNDr., Ph.D. (09.05.2025)

angličtina

The exam consists of the written (minimum score 50% is necessary to continue in) and the oral parts.

The written part lasts 70 minutes and 3 exercises have to be solved in it. If the score achieved from the written part is less than 50%, the exam is graded as "fail".

The oral part of the exam covers the subject matter in accordance with the sylabus, in the extent presented at the lectures.

Poslední úprava: Dvořák Jiří, doc. RNDr., Ph.D. (09.05.2025)

Sylabus

čeština

1. Definice a základní charakteristiky náhodných procesů. Některé důležité třídy náhodných procesů.

2. Hilbertův prostor. Prostor L_2. Procesy se spojitým časem v L_2.

3. Spektrální rozklad autokovarianční funkce. Existence a výpočet spektrální hustoty

4. Procesy s ortogonálními přírůstky. Integrál podle procesu s ortogonálními přírůstky. Spektrální rozklad stacionárních procesů

5. Posloupnost MA. Lineární proces. Posloupnosti AR,ARMA. Lineární filtry

6. Predikce v konečných náhodných posloupnostech. Rekurzivní metody predikce. Predikce v modelech ARMA. Predikce v nekonečných stacionárních posloupnostech. Predikce ve spektrální doméně.Filtrace signálu a šumu.

7. Ergodické věty v L_2. Vybrané centrální limitní věty.

8. Odhady průměru a autokovarianční funkce

9. Odhady parametrů v modelech AR. MA, ARMA

10. Odhady spektrální hustoty.

Poslední úprava: Hlubinka Daniel, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

angličtina

Stationary processes.

Continuity, differentiation and integration.

Spectral representation.

Linear process. Ergodicity, central limit theorems.

Prediction and filtration.

ARMA models and their statistical analysis.

Poslední úprava: Hlubinka Daniel, doc. RNDr., Ph.D. (10.12.2020)

Podmínky zápisu předmětu

čeština

Základní znalosti z teorie pravděpodobnosti na úrovni bakalářského

studia obecné matematiky, základy teorie Hilbertových prostorů, L_p

prostory, základy komplexní analýzy, diferenční rovnice

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (26.05.2025)

angličtina

Random variables, random vectors, their distribution, moments and

convergence Basics of complex analysis

Basics of measure theory and Lebesgue integration

Hilbert spaces

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (26.05.2025)