Matematika C2 - MS710P14

• Anglický název: Mathematics C2
• Český název: Matematika C2
• Zajišťuje: Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky (31-710)
• Fakulta: Přírodovědecká fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Způsob provedení zkoušky: letní s.:
• Rozsah, examinace: letní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: 6
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Poznámka: povolen pro zápis po webu
• Garant: RNDr. Hana Hladíková, Ph.D.
• Vyučující: RNDr. Hana Hladíková, Ph.D.

Anotace

čeština

Cílem je získat znalosti potřebné ke studiu odborných předmětů. Diferenciální počet. Skalární a vektorové pole. Dvojné a trojné integrály. Nekonečné řady

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)

angličtina

Is a continuation of the course MatC2, the main focus will be improper integral, series and the calculus of functions of several variables.

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)

Literatura

Základní literatura:  

Kotvalt, V.: Základy matematiky pro přírodovědné obory. Karolinum, 2008.

Štědrý, M.: Sbírka úloh k matematice pro geografy. Karolinum, 2006.

N. Krylová, M. Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky I. PřF UK, Praha 1994.

 

D. Turzík a kolektiv: Matematika II ve strukturovaném studiu II. VŠCHT, Praha 2014 (také 2005, 2002, 1998).

 Budínský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, 1983

 J. Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.

J. Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)

Požadavky ke zkoušce

Zápočet lze získat za aktivní účast na cvičení a na základě úspěšného zápočtového testu.

Ke zkoušce se lze přihlásit až po získání zápočtu. Zkouška v každém termínu je kombinovaná a začíná písemnou částí. Pokud se v řádném nebo prvním opravném termínu nezíská v písemné části aspoň 55 % bodů, je hodnocení zkoušky neprospěl/neprospěla. Při druhém opravném termínu následuje po písemné části ústní zkouška, ať je výsledek písemné části jakýkoliv.

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (17.02.2025)

Sylabus

čeština

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných: Euklidovský prostor E_n, metrika; parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace složených funkcí více proměnných; extrémy funkcí dvou proměnných.

Dvojný a trojný integrál. Substituce v dvojném integrálu. Polární souřadnice. Substituce v trojném integrálu. Válcové a sférické souřadnice. Použití dvojného a trojného integrálu.

Vektorová funkce jedné a dvou proměnných. Křivka, tečna, délka křivky. Plocha, tečná rovina. Gradient. Derivace v daném směru.  Potenciální pole, potenciál.

Nekonečné řady. Řada konvergentní, divergentní. Základní kritéria konvergence. Absolutně konvergentní řada, neabsolutně konvergentní řada. Mocninná řada. Poloměr konvergence; derivování a integrování mocninné řady. Taylorova řada.

Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice; počáteční úloha; diferenciální rovnice 1. řádu se separovatelnými proměnnými; lineární diferenciální rovnice 1.řádu – věta o existenci jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, výpočet řešení metodou variace konstanty nebo metodou odhadu; jednoduché aplikace diferenciálních rovnic 1. řádu.

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)

angličtina

Differential calculus of several variables: the metric space En, vector-valued function of several variables, limits and continuity, partial derivatives and differentials, chain rules, the gradient, directional derivatives, Taylor´s theorem, extreme values, differentiation of implicit functions.

Multiple integral: double and triple integrals, evaluation - iterated integrals, integration in polar, cylindrical and spherical coordinates, applications.

Calculus of vector fields: vector fields, basic curves and surfaces in the space, conservative vector fields and potencial functions, applications of line integrals.

Sequences and serier: convergence properties of sequences, infinit series of constants, nonnegative series - the integral, the comparison and the ratio tests, alternating series and absolute convergence, power series, Taylor series.

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)

Výsledky učení

čeština

Výsledky učení podle témat

Student bude schopen:

1. Funkce více proměnných

             - definovat a interpretovat funkce více proměnných,

             - spočítat parciální derivace a gradient,

             - aplikovat směrovou derivaci a totální diferenciál,

             - použít řetězové pravidlo pro složené funkce,

             - nalézt lokální extrémy pomocí druhých derivací,

             - aplikovat větu o implicitní funkci.

2. Taylorův polynom a aproximace

             - sestrojit Taylorův polynom funkce jedné i více proměnných,

             - odhadnout chybu aproximace pomocí zbytku Taylorovy řady,

             - použít polynomy k lokální aproximaci funkcí.

3. Integrální počet

           - pracovat s nevlastními integrály a určit jejich konvergenci,

             - vypočítat dvojný a trojný integrál v různých souřadnicích,

             - aplikovat Fubiniho větu a změnu proměnných,

              - vypočítat křivkový integrál prvního a druhého typu,

             - interpretovat integrály geometricky a fyzikálně.

4. Vektorová analýza

             - pracovat s vektorovými poli, gradientem, divergencí a rotací,

  5. Řady

             - analyzovat číselné řady a určit jejich konvergenci,

             - pracovat s mocninnými řadami a určit jejich poloměr konvergence,

             - sestrojit Taylorovu řadu funkce a určit interval konvergence.

7. Diferenciální rovnice

             - rozpoznat typy obyčejných diferenciálních rovnic (ODR),

             - použít pro diferenciální rovnice prvního řádu  metody separace proměnných a variaci    konstant,

              - interpretovat řešení v kontextu reálných aplikací.

 

 

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)

angličtina

The student will be able to:

• Functions of Several Variables
• Define and interpret functions of several variables
• Compute partial derivatives and the gradient
• Apply directional derivatives and the total differential
• Use the chain rule for composite functions
• Find local extrema using second derivatives
• Apply the implicit function theorem
• Taylor Polynomial and Approximation
• Construct Taylor polynomials for functions of one or more variables
• Estimate approximation error using the remainder of the Taylor series
• Use polynomials for local approximation of functions
• Integral Calculus
• Work with improper integrals and determine their convergence
• Compute double and triple integrals in various coordinate systems
• Apply Fubini’s theorem and change of variables
• Evaluate line integrals of the first and second kind
• Interpret integrals geometrically and physically
• Vector Analysis
• Work with vector fields, gradient, divergence, and curl
• Series
• Analyze numerical series and determine their convergence
• Work with power series and determine their radius of convergence
• Construct Taylor series for functions and determine the interval of convergence
• Expand functions into Fourier series and interpret their significance
• Differential Equations
• Recognize types of ordinary differential equations (ODEs)
• Use methods such as separation of variables and variation of constants for first-order ODEs
• Interpret solutions in the context of real-world applications

Poslední úprava: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)