|
|
|
||
|
Last update: Mgr. Dina Novotná Obeidová (17.08.2021)
Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce
Zobrazovací metody
Základy konstrukční geometrie
1. Planimetrie a~stereometrie. Bod, přímka, rovina, incidence geometrických útvarů, polohové a~metrické vlastnosti geometrických útvarů v~rovině, svazek přímek, euklidovské konstrukce, tečna ke kružnici, společné tečny dvou kružnic, stejnolehlost, středový a~obvodový úhel, Thalétova kružnice, konstrukce pravidelných n-úhelníků, mocnost bodu ke kružnici, chordála, potenční střed, svazek kružnic. Polohové a~metrické vlastnosti geometrických útvarů v~trojrozměrném prostoru (včetně definic a~kritérií rovnoběžnosti přímky a~roviny, rovnoběžnosti dvou rovin, kolmosti přímky a~roviny, kolmosti dvou rovin), příčky mimoběžek. Tečné roviny těles. Řezy těles, průniky přímky a~těles.
2. Osová afinita, perspektivní kolineace. Perspektivní kolineace mezi dvěma různoběžnými rovinami. Perspektivní kolineace v~rovině, střed, osa, úběžnice a~protiúběžnice kolineace. Využití perspektivní kolineace při konstrukci řezů těles a~při konstrukci kuželoseček.
Osová afinita mezi dvěma rovinami, osová afinita v~rovině; osa, směr a~charakteristika osové afinity. Dělení afinit. Využití osové afinity při konstrukci řezů těles a~v~úlohách o~elipse (speciálně při odvození trojúhelníkové konstrukce elipsy a~Rytzově konstrukci vrcholů elipsy).
3. Kuželosečky. Definice jednotlivých kuželoseček, společná poměrová definice kuželoseček, ohniskové vlastnosti kuželoseček, kuželosečky jako řezy kuželových ploch, Quételetovy-Dandelinovy věty. Konstrukce tečen kuželoseček, konstrukce středů hyperoskulačních kružnic. Bodové konstrukce kuželoseček. Konstrukce kuželoseček z~různých podmínek.
Zobrazovací metody
1. Základní vlastnosti středového a~rovnoběžného promítání. Dělení promítání, princip promítání (středového, rovnoběžného). Vlastnosti rovnoběžného (speciálně pravoúhlého) promítání. Volné rovnoběžné promítání. Zobrazení přímek a~rovin.
2. Kótované promítání. Princip promítání (směr promítání, průmětna, orientace poloprostorů, kóta, zobrazení bodu). Zobrazení přímky, stopník přímky, promítací rovina přímky a~její sklápění do průmětny, skutečná velikost úsečky, odchylka přímky od průmětny, stupňování přímky, spád a~interval přímky. Zobrazení roviny, stopa roviny, hlavní a~spádové přímky roviny, stupňování roviny, spád a~interval roviny, zobrazení dvojice rovin. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s~rovinou, přímka kolmá k~rovině, rovina kolmá k~přímce, vzdálenost bodu od roviny, otáčení roviny, zobrazení útvarů v~obecné rovině. Zobrazení hranatých těles, skutečný a~zdánlivý obrys. Zobrazení kružnice, kulové plochy.
3. Mongeovo promítání. Princip promítání (směr promítání, průmětny, zobrazení bodu, půdorys a~nárys bodu, základnice, ordinála). Zobrazení přímky, stopníky přímky, půdorysně a~nárysně promítací roviny přímky a~jejich sklápění do průměten. Zobrazení roviny, stopy roviny, hlavní a~spádové přímky roviny. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s~rovinou, přímka kolmá k~rovině, rovina kolmá k~přímce, vzdálenost bodu od roviny. Odchylka roviny od průměten, otáčení roviny. Třetí průmětna. Rovina totožnosti a~rovina souměrnosti. Zobrazení hranatých těles, jejich řezy rovinami, průnik přímky a~těles, viditelnost. Vzájemné průniky hranatých těles. Zobrazení kružnice, kulové plochy, řezy kulové plochy. Zobrazení válcových a~kuželových ploch, jejich řezy rovinami, průnik přímky a~válcové nebo kuželové plochy. Osvětlení.
4. Kosoúhlé promítání. Princip promítání (směr promítání, průmětny, trimetrie, dimetrie, izometrie, zobrazení bodu). Zobrazení přímky, stopníky přímky. Zobrazení roviny, stopy roviny, hlavní přímky roviny. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s~rovinou, přímka kolmá k~rovině, vzdálenost bodu od roviny. Otáčení obecné roviny. Zobrazení útvarů (včetně kružnice) v~souřadnicových rovinách i~v~obecné rovině. Zobrazení tělesa v~kosoúhlém promítání ze znalosti jeho pravoúhlých průmětů. Zobrazení těles s~podstavami v~pomocných průmětnách i~v~obecných rovinách. Řezy hranatých těles, průnik přímky a~tělesa. Vzájemné průniky hranatých těles. Zobrazení kulové, kuželové, válcové plochy. Řezy kuželových a~válcových ploch, průnik přímky a~válcové nebo kuželové plochy. Osvětlení.
5. Pravoúhlá axonometrie. Princip promítání (směr promítání, průmětny, axonometrický trojúhelník, axonometrický osový kříž, zobrazení bodu). Zobrazení přímky, stopníky přímky. Zobrazení roviny, stopy roviny, hlavní přímky roviny. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s~rovinou. Otáčení obecné roviny. Zobrazení útvarů (včetně kružnic) v~souřadnicových rovinách i~v~obecné rovině. Axonometrická stopa roviny a~axonometrický stopník přímky. Přímka kolmá k~rovině, rovina kolmá k~přímce. Rovina rovnoběžná s~některou ze souřadnicových os a~zobrazení útvarů (včetně kružnice) v~ní ležících. Vzdálenost bodu od axonometrické průmětny, vzdálenost bodu od počátku souřadnicového systému, skutečná délka úsečky. Zobrazení těles s~podstavami v~pomocných průmětnách i~v~obecných rovinách. Zářezová metoda. Řezy hranatých těles, průnik přímky a~tělesa. Vzájemné průniky hranatých těles. Zobrazení kulové, kuželové, válcové plochy. Řezy kuželových a~válcových ploch, průnik přímky a~válcové nebo kuželové plochy. Osvětlení.
6. Kosoúhlá axonometrie. Princip promítání (směr promítání, průmětny, zobrazení bodu). Pohlkeova věta.
7. Středové promítání. Princip promítání (střed promítání, průmětna, hlavní bod, distance, zobrazení bodu, středový a~pravoúhlý průmět bodu). Zobrazení přímky, stopník a~úběžník přímky, dělicí bod, skutečná velikost úsečky. Zobrazení roviny, stopa a~úběžnice roviny, hlavní a~spádová přímka roviny, úběžník spádových přímek, normála k~rovině, úběžník normál, rovina kolmá k~přímce. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s~rovinou, otáčení roviny. Středový průmět kružnice (přesná konstrukce, osmibodová konstrukce). Středové průměty jednoduchých těles, jejich řezy rovinami. Rovnoběžné osvětlení ve středovém promítání (stín vlastní, vržený, do dutiny).
Projektivní geometrie
1. Projektivní geometrie syntetická. Projektivní rozšíření roviny, projektivnost, zejména involuce. Princip duality. Projektivní vytvoření kuželosečky, polární vlastnosti. Věta Pascalova a~Brianchonova. Svazek a~řada kuželoseček, Desarguesova involuce. Ohniskové vlastnosti kuželoseček, konstrukce kuželoseček.
2. Projektivní geometrie analytická. Definice projektivního prostoru, homogenní souřadnice, projektivní rozšíření afinního prostoru. Kolineace a~jejich reálné Jordanovy tvary, věta o~dimenzi, polární vlastnosti kvadrik, maximální lineární podprostory na kvadrice, vrchol, obecná projektivní a~afinní klasifikace kvadrik s~aplikací pro n = 2, 3. Dotyková kuželová plocha.
Aplikace deskriptivní geometrie a~počítačová geometrie
1. Plochy stavební praxe. Rotační plochy. Vlastnosti obecných rotačních ploch (osa plochy, rovnoběžkové kružnice, meridián, tečná rovina plochy, normála plochy, eliptické, parabolické a~hyperbolické body na ploše), jejich zobrazení v~rovnoběžných promítáních a~užití v~praxi. Anuloid (parametrické vyjádření, řez anuloidu rovinou rovnoběžnou s~osou, řez bitangenciální rovinou), rotační plochy druhého stupně (obrazy v~prostorové afinitě a~kolineaci). Obrysy, řezy rovinami, průniky rotačních ploch a~jejich osvětlení v~rovnoběžných promítáních.
Přímkové plochy. Rozvinutelné a~zborcené přímkové plochy (stupně 2, 3 a~4, hyperbolický paraboloid, zborcený hyperboloid, konoidy). Chaslesova věta. Vlastnosti přímkových ploch (řídicí křivky, stupeň plochy, regulární a~torzální přímky plochy, kuspidální body), tečná rovina plochy, jejich zobrazení v~rovnoběžných promítáních a~užití v~praxi.
Šroubové plochy (šroubovice, přímkové a~cyklické šroubové plochy). Vlastnosti šroubových ploch, tečná rovina plochy a~užití v~praxi.
Další významné plochy technické praxe -- translační, klínové, součtové a~obalové plochy, jejich vlastnosti a~zobrazování, konstrukce tečné roviny.
2. Počítačová geometrie. Algoritmy počítačové geometrie. Transformace v~rovině a~v~prostoru. Analytická vyjádření zobrazovacích metod. Geometrické modelování (zobrazování těles, určování viditelnosti). Geometrické vyhledávání, operace s~konvexními množinami, teorie grafů, triangulace. Křivky a~plochy počítačové grafiky -- interpolace a~aproximace: Lagrangeův a~Newtonův tvar interpolačního polynomu, Hermitova interpolace, metoda nejmenších čtverců. Bézierovy křivky, Fergusonova a~Coonsova kubika, B-spline a~NURBS křivky. Plochy vzniklé rotací, šroubováním, vytažením a~šablonováním. Plochy zadané okrajovými křivkami, Bézierovy, B-spline a~NURBS plochy.
3. Další aplikace deskriptivní geometrie. Lineární perspektiva -- princip zobrazení, jedno-, dvou- a~tříúběžníková perspektiva, průsečná metoda, volné metody, osvětlení, zrcadlení ve svislé a~vodorovné rovině. Stereoskopické promítání (anaglyfy). Perspektivní reliéf -- konstrukce reliéfu bodů, přímek, rovin, prostorových útvarů, afinní reliéf jako speciální případ perspektivního reliéfu. Konstruktivní fotogrammetrie -- rekonstrukce svislého a~šikmého snímku. Aplikace deskriptivní geometrie v~technických oborech (stavebnictví, architektura apod.) a~umění. Teoretické řešení střech. Topografické plochy (zabudování komunikací a~plošin do terénu). |