One of the basic courses in the area of general differential geometry. A recommended course for specialization
Mathematical Structures within General Mathematics.
Last update: T_MUUK (09.05.2013)
Jeden z úvodních kursů v oblasti obecné diferenciální geometrie. Spojují se zde pojmy z algebry a reálné analýzy
a rozvíjejí se v novém, geometrickém směru. Jsou vybudovány pojmy tenzorové a vnější algebry, diferenciální
formy na R^n a jejich integrály přes k-rozměrné plochy v R^n. Zavádí se dále pojem hladké variety s krajem,
tečných vektorů, vektorových a tenzorových polí, integrál z diferenciálních forem na varietě a jako zlatý hřeb je
dokázána obecná Stokesova věta. Rovněž se zavádí integrál z funkce přes Riemannovu varietu.
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (25.09.2020)
The exam will be written. The student will receive credit for homework.
Last update: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (25.09.2020)
Zkouška bude písemná. Zápočet student získá za vypracování domácích úloh.
Literature - Czech
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (10.10.2012)
L. Krump, V. Souček, J. A. Těšínský: Matematická analýza na varietách, skriptum, Karolinum, 2008 (2. vydání).
O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, skriptum, Karolinum, 1975 (2. vydání).
M. Fecko: Diferenciálna geometria Lieovy grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava, 2008.
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (25.09.2019)
Requirements to the exam correspond to the syllabus to the extent to which topics were covered during lectures and tutorials.
Last update: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (25.09.2019)
Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.
2. Smooth maps between manifolds, smooth functions, diffeomorphisms; tangent vectors in a point, tangent space in a point, coordinates on tangent space, geometrical interpretation of vectors; tangent map to a smooth map, coordinate description, Jacobians.
3. A summary of properties of tensor algebra of a vector space; outer algebra of a vector space, basic properties of outer multiplication; symmetric algerba of a vector space, orientation of a vector space, volume of a paralleliped using outer product and the Gramm matrix.
4. Tensor fields on a manifold, Riemann (pseudo)-metric on a manifold, Minkowski spacetime, algebra of differnetial forms as a modul over the ring of functions, orientation of a manifold; de Rham differential in coordinates and without coordinates, exact and closed forms, de Rham complex, de Rham cohomology, Poincare lemma; inverse image of tensor fields and forms by a smooth map, coordinate description, basic properties.
5. Manifolds with a boundary, its tangent space, differential forms on manifolds with boundary, orientation.
6. Integration of forms on a manifold with boundary, Stokes theorem.
7. Volume form on a (pseudo)-Riemannian manifold, integration of functions on such manifolds, local computations.
If possible: 8. Lie derivative of vector fields, contraction of forms by vector fileds, connection with the de Rham differential.
Last update: G_M (15.05.2012)
1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské součiny variet).
2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet, tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám), tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.
3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru, vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení, symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorového prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.
4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně, algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety, vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma, přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.
5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.
6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.
7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.
Pokud možno:
8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.
