Last update: T_MUUK (23.05.2003)
Minimal syllabus:
1. Topological manifold (charts, transition functions, atlas), smooth manifolds (differential structure), basic examples of manifolds. 2. Smooth maps between manifolds, smooth functions, diffeomorphisms; tangent vectors in a point, tangent space in a point, coordinates on tangent space, geometrical interpretation of vectors; tangent map to a smooth map, coordinate description, Jacobians. 3. A summary of properties of tensor algebra of a vector space; outer algebra of a vector space, basic properties of outer multiplication; symmetric algerba of a vector space, orientation of a vector space, volume of a paralleliped using outer product and the Gramm matrix. 4. Tensor fields on a manifold, Riemann (pseudo)-metric on a manifold, Minkowski spacetime, algebra of differnetial forms as a modul over the ring of functions, orientation of a manifold; de Rham differential in coordinates and without coordinates, exact and closed forms, de Rham complex, de Rham cohomology, Poincare lemma; inverse image of tensor fields and forms by a smooth map, coordinate description, basic properties. 5. Manifolds with a boundary, its tangent space, differential forms on manifolds with boundary, orientation. 6. Integration of forms on a manifold with boundary, Stokes theorem. 7. Volume form on a (pseudo)-Riemannian manifold, integration of functions on such manifolds, local computations. If possible: 8. Lie derivative of vector fields, contraction of forms by vector fileds, connection with the de Rham differential.
Minimální sylabus:.
1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské souči-ny variet).
2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet;.
tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám);.
tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.
3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru;.
vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení;.
symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorové-ho prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.
4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně.
algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety;.
vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma;.
přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.
5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.
6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.
7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.
Pokud možno:.
8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.
