1. BANACHOVY ALGEBRY
1.A. Banachovy algebry
pojem Banachovy algebry, příklady (C(K), lineární operátory na Banachově
prostoru, disková algebra, L^1( R) s konvolucí, l^1(Z) )
otázka existence jednotky
spojitost násobení
vlastnosti množiny regulárních prvk? (topologická grupa, otevřenost, vyjádření
inverzního prvku a jeho norma
spektrum, rezolventa a spektrální poloměr
rezolventní funkce
kompaktnost a neprázdnost spektra
Gelfand-Mazurova věta
Beurlingův vzoreček
1.B. Gelfandova reprezentace
charaktery jako multiplikativní funkcionály, prostor charakterů a
Gelfandova topologie na něm
Gelfandova transformace a její základní vlastnosti
příklady ( C (K), l^1 (Z))
kdy je Gelfandova reprezentaze prostým zobrazením (radikál algebry),
kdy izometrií a kdy je na (Gelfand-Naimarkova věta)
2. ZÁKLADY NELINEÁRNÍ FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY
2.A. Geometrie Banachových prostorů
striktně konvexní a uniformně konvexní prostory
přenormování separabilního prostoru
promítání v uniformně konvexních prostorech
slabé a normové uzávěry konvexních množin
slabá polospojitost normy
promítání v reflexivních striktně konvexních prostorech
2.B. Věty o pevných bodech
pojem FPP a retraktu
Brouwerova věta pro jednotkovou kouli a její zobecnění
Schauderův příklad
Schauderova věta a některá její zobecnění (důkaz pomocí renormace a
Brouwerovy věty)
použití Schauderovy věty (existenční věty pro diferenciální a integrální rovnice)
2.C. Topologický stupeň
základní požadavky na topologický stupeň
Sardova věta jako speciální. případ obecnějšího tvrzení
zavedení topologického stupně v prostorech konečné dimenze
důkaz Brouwerovy věty
3. DOPLŇKY DLE VÝBĚRU
3.A. Základy harmonické analýzy
topologická grupa, příklady
Haarova míra na kompaktních či lokálně kompaktních prostorech
(existence a jednoznačnost)
konvoluce funkcí, grupová algebra L ^1(G)
charaktery grupy, duální grupa, Pontrjaginova věta
popis charakterů na R, Z, T
Gelfandův prostor L ^1(G)
Gelfandova transformace funkcí z L ^1(G) a vztah k Fourierově
transformaci a Fourierovým řadám
3.C. Neomezené operátory
operátory s hustým definičním oborech a uzavřeným grafem
adjungovaný operátor, jeho vlastnosti
symetrické a samoadjungované operátory
pojem inverze a spektra, vlastnosti
Möbiova a Caleyova transformace
spektrální teorie neomezených samoadjungovaných operátorů
3.D. Teorie semigrup
semigrupy operátorů, slabě a silně spojité semigrupy, kontrakční semigrupy
infinitezimální generátor semigrupy, příklady
rezolventy, Laplaceova transformace a vztah k semigrupám
Hille-Yosidova charakteristika
Vědomosti z Úvodu do funkcionální analýzy:
vlastnosti základních příkladů Banachových a Hilbertových prostorů,
topologické doplňky, promítání v Banachových a Hilbertových prostorech,
ortonormální báze, prostor lineárních zobrazení, Fréchet-Rieszova věta o
reprezentaci lineárních funkcionálů na Hilbertových prostorech,
popisy různých duálů, Hahn-Banachova věta včetn? důsledků, kanonické vnoření
a reflexivní prostory, kompaktní operátory, adjungovaná zobrazení, slabé konvergence,
princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, Banachova věta o
otevřeném zobrazení, uzavřená zobrazení, kompaktnost a slabá kompaktnost jednotkové
koule v Banachových prostorech, spektrum kompaktního operátoru
Last update: G_M (25.05.2007)