Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Vektorové prostory, okolí bodu, konvergence, funkce několika proměnných, limity, spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, diferenciál, tečné roviny, normály, implicitně zadaná funkce, křivky, plochy, transformace souřadnic, vícenásobný integrál, substituce, Fubiniova věta, křivkový a plošný integrál, užití.
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Vector spaces, neighbourhood of a point, convergence, functions of several variables, limits, continuity, directional derivative, partial derivatives, differential, tangent planes, normals, implicit function, curves, surfaces, transformation of coordinates, multidimensional integral, substitution, Fubini theorem, curvilinear and surface integrals, application.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Primárním cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy, vědomostmi a souvislostmi infinitesimálního počtu funkcí dvou a více proměnných v návaznosti na podobné kurzy o funkcích jedné proměnné. Sekundárním cílem je prověřit, zopakovat a upevnit znalosti z předcházejících kurzů zejména z matematické analýzy ale též geometrie (křivky, plochy) nebo algebry (vektorové prostory, lineární, kvadratické formy).
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Primary purpose of the course is to make students acquainted with basic ideas, knowledges and connections of infinitesimal calculus of two or more variables functions in relation with similar courses on one variable functions. Secondary aim is to prove, repetite and fix knowledges of previous courses especially from mathematical analysis, but from geometry (curves, surfaces) or algebra (vector space, linear, quadratic forms) as well.
Literatura -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
- Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 - Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976
- František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha 2011) - Zuzana Došlá, Ondřej Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných (MU Brno 1999) - Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) - Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) - Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha)- Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Vítězslav Novák: Diferenciální počet funkcí více proměnných (UJEP Brno 1983) - Miloš Ráb: Riemannův integrál v En (UJEP Brno 1985) -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
- Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 - Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976
- František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha 2011) - Zuzana Došlá, Ondřej Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných (MU Brno 1999) - Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) - Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) - Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha)- Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Vítězslav Novák: Diferenciální počet funkcí více proměnných (UJEP Brno 1983) - Miloš Ráb: Riemannův integrál v En (UJEP Brno 1985) -
Metody výuky -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Přednáška a cvičení
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Lecture and seminar
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
- Požadavky k zápočtu: aktivní účast na výuce, úspěšné splnění kontrolních testů (pro případnou opravu budou ve zkouškovém období vypsány dva opravné termíny) - Požadavky ke zkoušce: znalost probraných pojmů, porozumění definicím, souvislostem, vztahům, schopnost řešit příklady a problémy
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
- Credit requirements: active participation at seminars, succesful completion of the control tests (during the exam period there will be stated two terms for possible correction tests) - Exam requirements: knowledge of given definitions, understanding of definitions, connections, relations, ability to solve problems
Sylabus -
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Úvodní část
opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice obecné, směrnicové a parametrické, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce
konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.
Diferenciální počet
reálné funkce více proměnných (R2->R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost
derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Fr?chetova derivace), vzájemné vztahy, věty o derivacích a diferenciálu (protipříklady), gradient (V) - geometrický význam
derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta
extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)
Banachova věta o pevném bodu, věta o implicitně zadané funkci, počítání derivací, diferenciálů, tečen, tečných rovin
vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubiniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu
křivky v R2 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
plochy v R3 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečná rovina, normála, obsah (povrch koule, plášť kužele), body na ploše (eliptické, hyperbolické,..., asymptotické směry), divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.
Poslední úprava: Kateřina Esserová, DiS. (24.09.2019)
Introduction
repetition - linear vector spaces, scalar, vector and outer product (geometric meaning, determinants), lines - general form, slope-intercept form, parametric form, parametrization corresponding with longitude, planes, functions
real functions of several variables (R2->R), domain, level sets, cross-sections, limit (over a set, over domain), continuity
derivative in direction(Gâteaux differential and derivative), partial derivative, total differential (Frechet derivative), interrelations, theorems on derivatives and differential (counterexamples), gradient (V) - geometric meaning
higher order derivatives (exchange of mixed second derivatives), second differential, Taylor theorem
extremes local, absolut, constraint extremes (substitut method and Lagrange multipliers)
Banach fixed point theorem, implicit function theorem, calculating of derivatives, differentials, tangents, tangent planes
transformation of coordinates (R2->R2, R3->R3) - polar, (cylindric), spheric
Integral calculus
multiple (double, triple) integral, calculating of an area (disc), volume (ball, cone), centre of gravity (triangle, tetrahedron), moments, Fubini theorem, substitute theorem - connection of determinants with volume and area
curves in R2 (explicit, implicit, parametric form), tangent, normal, longitude of a curve (circle), divergence, (3. coordinate of curl), curve integral, Green theorem
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
surfaces in R3 (explicit, implicit, parametric form), tangent plane, normal, area (of a sphere, lateral area of a cone), points on surface (eliptic, hyperbolic,..., asymptotic directions), divergence, curl, surface integral, Stokes, Gauss-Ostrogradsky theorem.
