|
|
|
||
Poslední úprava: Mgr. Hana Kudrnová (16.01.2018)
|
|
||
Poslední úprava: Mgr. Hana Kudrnová (16.01.2018)
Cílem předmětu je pochopení analytických formulací klasické mechaniky a jejich použití k efektivnímu řešení netriviálních úloh. |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (28.09.2021)
Podmínkou pro udělení zápočtu je získání alespoň 60 bodů. Celkově posluchač může získat až 100 bodů a to za: 1) Samostatně vypracované domácí úlohy. Zadány budou čtyři po 10 bodech, tedy celkem až 40 bodů, 2) Úspěšné napsání testu obsahujícího tři příklady v předem vyhlášeném termínu ke konci semestru, za který lze získat až 60 bodů. Pokud posluchač získá v průběh semestru alespoň 80 bodů, nemusí při zkoušce psát písemnou část. Požadavky u ústní části zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce v daném akademickém roce.
Upřesnění: Příklady k domácímu vypracování budou zadávány průběžně a je nutné je odevzdat vždy do 14 dnů po zadání. Zadaní těchto příkladů se bude vyvěšovat na www stránkách předmětu. Pokud posluchač v průběhu semestru nezíská potřebný počet bodů, může získat náhradní body v písemce před zkouškou. Ústní část zkoušky může tentýž den absolvovat jen ve výjimečných případech (výtečně napsaná písemka, zdravotní či jiné vážné důvody). Případy dlouhodobého onemocnění apod. vyřeší vedoucí cvičení individuálně. |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (22.09.2020)
|
|
||
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)
přednáška + cvičení |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (03.10.2011)
Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová). Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám Síly vtištěné versus reakce podložky. Parametrický popis plochy, normála. Lagrangeovy rovnice I.druhu (intuitivní zavedení, rozbor a ilustrace na jednoduchých příkladech). Obecný tvar rovnic pro N hmotných bodů, v vazeb. Klasifikace vazeb: jednostranná - oboustranná, holonomní - neholonomní, skleronomní - rheonomní. Virtuální posunutí a dynamika systému s vazbami: d'Alembertův princip. Důsledky principu: Newtonovy rovnice pro pohyb bez vazeb, hledání rovnováhy pomocí principu virtuální práce, ekvivalence s Lagrangeovými rovnicemi I.druhu. Lagrangeovy rovnice II.druhu Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace jak elegantně dospět k pohybovým rovnicím na příkladě cykloidálního kyvadla. Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic (vhodná volba zobecněných souřadnic, vyjádření T a V v těchto souřadnicích, sestavení L, příslušné derivace, jejich dosazení do Lagrangeových rovnic II.druhu). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky integrace pohybových rovnic: hledání přibližného řešení pomocí linearizace (matematické kyvadlo), hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli. Pohyb planet a další aplikace Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah. Hamiltonův variační princip Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona, geodetiky v obecné teorii relativity). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Jeho hlavní důsledky: Lagrangeovy rovnice II.druhu i I. druhu. Symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové pro invariantní L). Zmínka o kalibračních transformacích a polích. Náznak zobecnění variačního přístupu pro pole klasické i kvantové. Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice. Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti (přehled základních algoritmů, příklad). Analogie s termodynamickými potenciály. Odvození Hamiltonovy-Jacobiho rovnice jakožto důsledku vhodné kanonické transformace, algoritmus jejího řešení, metoda separace proměnných a příklad (volný pád). Aplikace ve fyzice: optika (vlnoplocha -> paprsek), kvantová mechanika (kvaziklasické přiblížení: Schroedingerova rovnice -> Hamiltonova-Jacobiho rovnice), Feynmanova formulace kvantové teorie pomocí dráhových integrálů. Mechanika tuhého tělesa Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic, zavedení vektoru úhlové rychlosti jakožto duálu k nim. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci (Chaslesova věta). Důsledek pro kinetickou energii (Koenigova věta). Drobná perlička: jednoduché odvození pohybových rovnic v neinerciálním systému z Lagrangeovy funkce. Eulerovy rovnice a setrvačníky Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku. Teorie kontinua Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: hustota Lagrangeovy funkce pro příčné kmity struny. Odvození Eulerových-Lagrangeových pohybových rovnic pro spojité prostředí z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza). Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování. Dva možné popisy pohybu kontinua: Lagrange versus Euler. Vektor posunutí a pole rychlosti. Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua Připomenutí tenzoru malých deformací a tenzoru napětí. Pohybová rovnice obecného kontinua a rovnice kontinuity, podmínky rovnováhy. Reologická klasifikace látek (od tuhé látky po ideální tekutinu). Zobecněný Hookův zákon pro izotropní těleso s interpretací příslušných koeficientů. Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua Pohybová rovnice izotropního prostředí. Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny a vlny v ní, odvození rychlosti zvuku. Bernoulliova rovnice jakožto 1.integrál. d'Alembertův hydrodynamické paradoxon pro nevířivou a nestlačitelnou ideální tekutinu. Navierova-Stokesova pohybová rovnice pro vazkou tekutinu. Ilustrace: proudění dlouhou trubicí (odvození parabolického rychlostního profilu a Poiseuillova-Hagenova zákona). Krátce o laminárním proudění versus turbulenci a Reynoldsově čísle.
|