Předměty

Váš prohlížeč nepodporuje JavaScript nebo je jeho podpora vypnutá. Některé funkce nemusejí být dostupné.

Ordinary Differential Equations: A Constructive Approach - NMNV495

Anglický název:	Ordinary Differential Equations: A Constructive Approach
Zajišťuje:	Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta:	Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost:	od 2022
Semestr:	zimní
E-Kredity:	5
Rozsah, examinace:	zimní s.:2/0, Zk [HT]
Počet míst:	neomezen
Minimální obsazenost:	neomezen
4EU+:	ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu:	ne
Stav předmětu:	nevyučován
Jazyk výuky:	angličtina
Způsob výuky:	prezenční
Způsob výuky:	prezenční

Garant:	Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D.

Výsledky anket Termíny zkoušek Rozvrh Nástěnka

Anotace -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Kurz hostujícího profesora J.-P. Lessarda. Studenti se naučí používat nové počítačem podporované techniky k důkazu existence různých typů dynamických objektů v nelineárních spojitých dynamických systémech.

Literatura -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

1) Lecture notes based on the book Ordinary Differential Equations: A Constructive Approach we are currently writing.

2) Ordinary Differential Equations with Applications, Carmen Chicone (Springer Texts in Applied Mathematics, vol. 34, second edition; Springer, 2006; ISBN-13: 978-0387-30769-5).

3) Differential Equations and Dynamical Systems, Lawrence Perko (Third edition. Texts in Applied Mathematics, 7. Springer- Verlag, New York, 2001; ISBN: 0-387-95116-4).

Metody výuky -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Přednášky a domácí úlohy. V úlohách budou studenti provádět výpočty v systému MATLAB.

Sylabus -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Spojité dynamické systémy ve formě nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) jsou jádrem matematického modelování a jsou široce používány k popisu komplikovaných situací v tak širokých oblastech, jako je biologie, fyzika, chemie, meteorologie a epidemiologie. Základní obtíží při studiu nelineárních ODR je neexistence výrazů v uzavřeném tvaru pro nelineární rovnice, což téměř nevyhnutelně nutí vědce používat ke studiu modelů numerické metody. Tradičně se používá čistě matematická metoda "pero a papír" (např. funkcionální analýza, topologické metody, nelineární analýza) a počítačové nástroje se ke studiu modelů používaly odděleně. Účelem tohoto kurzu je změnit perspektivu a spojit sílu čisté a aplikované matematiky zavedením nejmodernějšího matematického aparátu, který vede k počítačem podporovaným důkazům existence

dynamických objektů v ODR. Přesněji řečeno, studenti se naučí nové rigorózní výpočetní techniky k důkazu existence (konstruktivním způsobem) ustálených stavů, periodických orbit, homoklinických a heteroklinických orbit, řešení počátečních a okrajových úloh, a k rigoróznímu hledání stabilních a nestabilních variet příslušních k ustáleným stavům a periodickým orbitám. Nakonec se studenti naučí, jak dokázat existenci chaosu.

• Chapitre 1: Motivation

• Chapitre 2: Banach Spaces

• Chapitre 3: Radii Polynomial Approach on Banach Spaces

• Chapitre 4: Fundamental Results: Existence and Uniqueness

• Chapitre 5: Taylor Methods

• Chapitre 6: Periodic Orbits

• Chapitre 7: Boundary Value Problems via Fourier Series

• Chapitre 8: Initial Value Problems via Chebyshev Series

• Chapitre 9: Stable and Unstable Manifolds for Equilibria

• Chapitre 10: Linear Theory for Periodic Orbits

• Chapitre 11: Stable and Unstable Manifolds for Periodic Orbits

• Chapitre 12: Connecting Orbits

• Chapitre 13: Dynamical Aspects of ODEs

• Chapitre 14: Chaotic Dynamics

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Continuous dynamical systems in the form of nonlinear ordinary differential

equations (ODE) are at the core of mathematical modeling and are widely used to describe complicated

phenomena in fields as broad as biology, physics, chemistry, meteorology and epidemiology. A

fundamental difficulty arising in studying nonlinear ODE is the absence of closed-form expressions for the

solutions, which almost inevitably forces the scientists to use numerical methods to study the models.

Traditionally, purely pen and paper mathematics (e.g. functional analysis, topological methods, nonlinear

analysis) and the tools of scientific computing were used separately to study the models. The purpose of

this class is to change perspective, and to combine the strength of pure and applied mathematics by

introducing a state-of-the-art mathematical machinery which leads to computer-assisted proofs of existence

of dynamical objects in ODE. More precisely, the students will learn novel rigorous computational

techniques to prove existence (in a constructive fashion) of steady states, periodic orbits, homoclinic and

heteroclinic orbits, solutions of initial and boundary value problems, and to compute rigorously stable and

unstable manifolds attached to steady states and periodic orbits. Finally, students will learn how to prove

existence of chaos.

• Chapitre 1: Motivation

• Chapitre 2: Banach Spaces

• Chapitre 3: Radii Polynomial Approach on Banach Spaces

• Chapitre 4: Fundamental Results: Existence and Uniqueness

• Chapitre 5: Taylor Methods

• Chapitre 6: Periodic Orbits

• Chapitre 7: Boundary Value Problems via Fourier Series

• Chapitre 8: Initial Value Problems via Chebyshev Series

• Chapitre 9: Stable and Unstable Manifolds for Equilibria

• Chapitre 10: Linear Theory for Periodic Orbits

• Chapitre 11: Stable and Unstable Manifolds for Periodic Orbits

• Chapitre 12: Connecting Orbits

• Chapitre 13: Dynamical Aspects of ODEs

• Chapitre 14: Chaotic Dynamics

Vstupní požadavky -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Základní kurz obyčejných diferenciálních rovnic a numerické matematiky.

Požadavky k zápisu -

Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (12.06.2021)

Předmět povede hostující profesor Jean-Philippe Lessard, https://www.mcgill.ca/mathstat/jean-philippe-lessard