Poslední úprava: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (10.05.2018)
Předmět představuje úvod do fraktální geometrie a teorie chaosu. Zkonstruujeme nejznámější druhy fraktálů a
odvodíme jejich základní vlastnosti. Klíčovým nástrojem zde bude pojem iterace. Soustředíme se na iterované
funkční systémy (např. Barnsleyho kapradina), iterace reálných funkcí (Feigenbaumova univerzalita) a iterace
komplexních funkcí (Mandelbrotova a Juliovy množiny). Předmět je přístupný širšímu okruhu zájemců jak z
matematiky, tak i fyziky a informatiky.
Poslední úprava: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (10.05.2018)
The course is an introduction to fractal geometry and chaos theory. We will construct the best
known types of fractals and derive their basic properties. The key tool will be the concept of
iteration. We will focus on iterated function systems (e.g. Barnsley fern), iteration of real functions
(Feigenbaum universality) and iteration of complex functions (Mandelbrot and Julia sets). The
course is accessible to a wider range of students of mathematics, as well as physics and computer
science.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)
Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)
The exam is oral. The examination requirements are given by the topics in the syllabus, in the extent to which they they were taught in course.
Literatura -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)
Devaney, R.L.: An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.
Barnsley, M. F.: Fractals everywhere, Boston: Academic Press Professional, 1993.
Beardon, A.F.: Iteration of rational functions, Graduate Texts in Mathematics vol. 132, Springer, 1991.
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (29.10.2019)
Devaney, R.L.: An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.
Barnsley, M. F.: Fractals everywhere, Boston: Academic Press Professional, 1993.
Beardon, A.F.: Iteration of rational functions, Graduate Texts in Mathematics vol. 132, Springer, 1991.
Metody výuky
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (17.09.2021)
Výuka v akademickém roce 2021/22: Na konkrétním čase konání přednášky se dohodneme před začátkem semestru se studenty podle časových možností všech. V případě distanční výuky budou přednáška konána na platformě ZOOM v čase dle rozvrhu. Materiály k přednášce budou k dispozici na adrese https://su.mff.cuni.cz/ v adresáři home/kucera/Fraktály a chaotická dynamika.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (10.06.2019)
Zkouška je ústní. Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (10.06.2019)
The exam is in oral form. The requirements are given by the scope covered in the lecture.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (27.11.2018)
Fraktální geometrie: Soběpodobnost, základní konstrukce, příklady z přírody. Hausdorffova dimenze.
Iterované funkční systémy: Afinně soběpodobné množiny, systémy kontrakcí. Existence atraktoru, kolážová věta. Algoritmy na generování atraktoru, 'chaos game'. Vlastnosti atraktoru.
Iterace reálných funkcí: Bifurkační kaskáda a diagram. Li-Yorkeova věta, Šarkovského věta. Kvadratický (unimodální) případ - definice chaosu, existence chaotických zobrazení.
Iterace komplexních funkcí: Kvadratické funkce, Bernoulliho posun, tranzitivita, citlivost na počáteční podmínky. Juliovy a Fatouovy množiny. Příklady geometrie Juliových množin, základní dichotomie, Douady-Hubbardův potenciál, externí paprsky, petaly. Mandelbrotova množina, základní vlastnosti, potenciál, základy kombinatoriky Mandelbrotovy množiny. Iterace racionálních funkcí, holomorfní dynamika.
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)
Fractal geometry: Self-similarity, basic constructions, examples from nature. Hausdorff dimension.
Iterated function systems: Affine self-similar sets, systems of contractions. Existence of the attractor, collage theorem. Algorithms for the generation of attractors, chaos game. Attractor properties.
Iteration of real functions: Bifurcation cascade and diagram. Li-Yorke theorem, Sharkovskii theorem. Quadratic (unimodal) case - definition of chaos, existence of chaotic mappings.
Iteration of complex functions: Quadratic functions, Bernoulli shift, transitivity, sensitivity to initial conditions. Julia and Fatou sets. Examples of the geometry of Julia sets, basic dichotomy. Douady-Hubbard potential, external rays, petals. Mandelbrot set, basic properties, potential, fundamentals of the combinatorics of Mandelbrot's set. Iteration of rational functions, holomorphic dynamics.
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)
Základní všeobecné znalosti z matematické analýzy a lineární algebry.
Poslední úprava: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (10.05.2018)
Basic general knowledge of mathematical analysis and linear algebra.
