Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Branda, Ph.D. (14.12.2020)
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy teorie pravděpodobnosti, užívanými ve finanční a pojistné
matematice. Jedná se především o pojem obecné podmíněné střední hodnoty a diskrétního i spojitého
martingalu. Budou studovány jejich základní vlastnosti a nejdůležitější příklady, především Wienerův proces a
stochastický integrál. Posluchači seznámení se základy stochastického kalkulu (Itoovo lemma). Aparát vybudovaný
v této přednášce tvoří základy pro studium stochastických modelů ve finanční a pojistných matematice.
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Branda, Ph.D. (14.12.2020)
The main objective is to introduce the fundamentals of probability theory that are used in finance and insurance
mathematics. The central concepts here are conditional expectation and discrete and continuous martingales that
will be introduced and explained. Their basic properties will be studied and the most important examples (Wiener
process and stochastic integral) will be examined. Basics of the stochastic calculus will be introduced and
studied (Ito Lemma). These techniques form the fundamentals for investigation of stochastic models in finance
and insurance mathematics.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: RNDr. Jitka Zichová, Dr. (01.06.2022)
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy teorie pravděpodobnosti, užívanými ve finanční a pojistné matematice.
Poslední úprava: RNDr. Jitka Zichová, Dr. (01.06.2022)
The main objective is to introduce the fundamentals of probability theory that are used in finance and insurance mathematics.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (28.09.2023)
Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky. K získání zápočtu je nutná účast aspoň na čtyřech cvičeních (z celkového počtu sedmi). Není-li tato podmínka splněna, student vypracuje písemně řešení zadaných příkladů.
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (28.09.2023)
The credit for exercise class must be obtained prior to taking the exam.
The credit for exercise class is obtained for personal presence at four (at least) exercise classes (the total number of which is seven). If this condition is not met, it is necessary to submit solutions to assigned exercise in written form.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (14.12.2020)
P. Lachout: Diskrétní martingaly, skripta MFF UK
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, 2010 (sedmé vydání)
I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1988 (první vydání)
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer-Verlag, 2001
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (14.12.2020)
P. Lachout: Diskrétní martingaly, Lecture Notes MFF UK
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, 2010
I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1988
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer-Verlag, 2001
Metody výuky -
Poslední úprava: RNDr. Jitka Zichová, Dr. (01.06.2022)
Přednáška + cvičení.
Poslední úprava: RNDr. Jitka Zichová, Dr. (01.06.2022)
Lecture + exercises.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (14.12.2020)
1. Podmíněná střední hodnota vůči sigma-algebře, náhodný proces, konečně-rozměrná rozdělení, Daniellova-Kolmogorovova a Kolmogorovova-Čencovova věta.
2. Martingaly, definice sub- a supermartingalu, filtrace, základní příklady. Markovské časy a časy prvního vstupu náhodného procesu do podmnožiny stavového prostoru. Maximální nerovnosti, Doobův-Meyerův rozklad.
3. Kvadratická variace martingalu, Wienerův proces a jeho základní vlastnosti.
4. Stochastický integrál vůči Wienerovu procesu, definice a základní vlastnosti. Stochastický diferenciál a Itoova formule - příklady.
5. Stochastický integrál vůči martingalu - úvod.
Poslední úprava: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc. (14.12.2020)
1. Conditional expectation w.r.t. sigma-algebra, random process, finite-dimensional distributions, Daniell-Kolmogorov and Kolmogorov-Chentsov theorems.
2. Martingales, definition of super- and submartingales, filtration, basic examples. Stopping times and hitting times of a subset of the state space by a random process. Maximal inequalities, Doob-Meyer decomposition.
3. Quadratic variation of martingales, Wiener process and its basic properties.
4. Stochastic integration w.r.t. Wiener process, definition and basic properties. Stochastic differential and Ito formula, examples.
5. Stochastic integration w.r.t. martingales - an introduction.
