Modulární formy a L-funkce I - NMAG462

• Anglický název: Modular forms and L-functions I
• Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://sites.google.com/view/shman/modular-forms-and-l-functions-i-winter-2324
• Garant: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)

Modulární formy a L-funkce jsou centrálními objekty v moderní teorii čísel, které hrály důležitou roli v důkazu velké Fermatovy věty. Jde o jisté komplexní funkce kódující zajímavé číselně-teoretické informace, např. o rozložení prvočísel, nebo počty řešení diofantických rovnic. Přednáška pokryje jejich základní vlastnosti a některé z aplikací za kombinace analytických a algebraických metod. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu posluchačů. Předmět nemusí být vyučován každý rok, je vyučován alespoň jednou za dva roky.

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)

Modular forms and L-functions are central objects in modern number theory, which played an important role in the proof of Fermat's Last Theorem. They are certain complex functions encoding information of number-theoretic interest, e.g., about the distribution of prime numbers, or numbers of solutions of diophantine equations. Combining analytic and algebraic methods, the course will cover their basic properties and some applications. Specific choice of topics will depend on the interests of participants. The course may not be taught every academic year.

Literatura

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)

J. S. Milne: Modular Functions and Modular Forms,

S. Lang: Algebraic Number Theory, Second Edition, GTM, Springer 1994

F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, GTM, Springer 2005

D. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge Studies in

Advanced Mathematics 55 (1998)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (05.10.2017)

Zkouška bude ústní s 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách.

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (28.10.2019)

Students have to pass final oral exam. The requirements for the exam correspond to what has been done during lectures.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)

Riemannovské povrchy

Horní polorovina a SL(2, R)

Eliptické funkce

Modulární formy

Eisensteinovy řady, Rámanudžanova funkce tau

Heckeho operátory

Funkce zéta a Dirichletovy L-funkce

Analytické rozšíření a funkcionální rovnice

Funkce théta

L-funkce modulárních forem a eliptických křivek

VFV a věta o modularitě

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)

Riemann surfaces

Upper half plane and SL(2, R)

Elliptic functions

Modular forms

Eisenstein's series, Ramanujan's tau function

Hecke operators

Zeta function and Dirichlet L-functions

Analytic continuation and functional equation

Theta functions

L-functions of modular forms and elliptic curves

FLT and modularity theorem