Budou zkoumány invarianty akcí klasických grup. Půjde především akce, jenž
jsou indukovány reprezentacemi příslušných grup na vektorových prostorech.
Invariantem v tomuo užším konextu rozumíme zobrazení z vektorového
prostoru do jiného vektorového prostoru. Typickými příklady jsou např.
stopa endomorfizmu A z End(V) nebo determinant. V aplikacích s zaměříme
především na polynomiální invarianty tzv. binárních n-ik, tedy na
invaraiantní polynomy definované na prostoru polynomu P^n(C^2).
Determinant je příkladem invariantu v případě binárních kvadrik.
Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)
Invariants of classical groups will be studied, mainly those induced by
actions on vector spaces. Invariants are traces of endomorphisms or
determinants. Hereby we mean that these objects are invariants with
respect to the adjoint action of the appropriate general linear group. In
the application of the theory, we focus to the case of polynomial
invariants of binary n-ics, i.e., invariant polynomials defined on the
space of polynomials P^n(C^2). The discriminant of a binary quadric is an
example of such an invariant for n = 2.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Naučit základy teorie invariantů pro tzv. klasické grupy.
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Study of invariants for classical groups
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Podmínky pro udělení zápočtu - referát.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre
Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classcial Groups,
Griffiths, Harris, Representation theory
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre
Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classical Groups,
Griffiths, Harris, Representation theory
Metody výuky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Studijní text k přednášce, poskytnutý přednášejícím.
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Lecture notes prepared by the lecturer.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Zkouška je písemná,známka se stanoví na základě bodového ohodnocení písemné zkoušky. Cílem písemné zkoušky je ověřit znalost předmětu v rozsahu studijního textu, který
připravil přednášející.
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Examination is written, its aim is to test the knowledge of the material contained in the lecture notes prepared by the lecturer.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
1) Lineární algebraické grupy, klasické grupy a jejich Lieovy algebry, reálné formy komplexních algebraických grup.
2) Regulární a lokálně regulární reprezentace lineárních algebraických grup.
3) Klasifikace ireducibilních representací klasických grup pomocí nejvyšších vah, úplná rozložitelnost jejich representací.
4) Fourierova analýza na grupové algebře konečné grupy, klasifikace ireducibilních representací grupy permutací.
5) Representace asociativních algeber, věta o dvojím komutantu.
6) Klasická teorie invariantů pro GL(V), O(V) a Sp(V). Howeovy duality, Schur-Weylova dualita
6) GL, SO, Sp-invarianty a jejich kombinatorika
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
1) Linear algebraic groups, classical groups and their Lie algebras, real forms of complex algebraic groups.
2) Regular and locally regular representations.
3) Classification of irreducible representations of classical groups using highest weights, complete reducibility.
4) Fourier analysis on the group algebra of a finite group, classification of irreducible representations of the group of permutations.
5) Representations of associative algebras, double commutant theorm.
6) Invariants for GL, SO and Sp groups.
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Lineární algebra, analýza na varietách, základy Lieových grup a algeber.
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Linear algebra, analysis on manifolds, basics of Lie algebras.
