Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)
Modulární formy a L-funkce jsou centrálními objekty v moderní teorii čísel, které hrály důležitou roli v důkazu velké
Fermatovy věty. Jde o jisté komplexní funkce kódující zajímavé číselně-teoretické informace, např. o rozložení
prvočísel, nebo počty řešení diofantických rovnic. Přednáška pokryje jejich základní vlastnosti a některé z aplikací
za kombinace analytických a algebraických metod. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu
posluchačů.
Předmět nemusí být vyučován každý rok, je vyučován alespoň jednou za dva roky.
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)
Modular forms and L-functions are central objects in modern number theory,
which played an important role in the proof of Fermat's Last Theorem. They
are certain complex functions encoding information of number-theoretic
interest, e.g., about the distribution of prime numbers, or numbers of
solutions of diophantine equations. Combining analytic and algebraic
methods, the course will cover their basic properties and some
applications. Specific choice of topics will depend on the interests of
participants.
The course may not be taught every academic year.
Literatura -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
J. S. Milne: Modular Functions and Modular Forms,
S. Lang: Algebraic Number Theory, Second Edition, GTM, Springer 1994
F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, GTM, Springer 2005
D. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge Studies in
Advanced Mathematics 55 (1998)
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
J. S. Milne: Modular Functions and Modular Forms,
S. Lang: Algebraic Number Theory, Second Edition, GTM, Springer 1994
F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, GTM, Springer 2005
D. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55 (1998)
Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (14.02.2018)
Zkouška bude ústní s 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
Riemannovské povrchy
Horní polorovina a SL(2, R)
Eliptické funkce
Modulární formy
Eisensteinovy řady, Rámanudžanova funkce tau
Heckeho operátory
Funkce zéta a Dirichletovy L-funkce
Analytické rozšíření a funkcionální rovnice
Funkce théta
L-funkce modulárních forem a eliptických křivek
VFV a věta o modularitě
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)