Číselné obory a teorie čísel pro učitele - OPBM4M033A

• Anglický název: Number fields and number theory for teachers
• Zajišťuje: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Fakulta: Pedagogická fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 4
• Způsob provedení zkoušky: zimní s.:
• Rozsah, examinace: zimní s.:0/2, Z [HT]
• Rozsah za akademický rok: 0 [hodiny]
• Počet míst: neurčen / 50 (neurčen)
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Poznámka: předmět je možno zapsat mimo plán; povolen pro zápis po webu; při zápisu přednost, je-li ve stud. plánu
• Garant: PhDr. Jakub Michal, Ph.D.
• Vyučující: PhDr. Jakub Michal, Ph.D.

Anotace

Cílem předmětu je seznámit budoucí učitele se základy teorie čísel. Po absolvování předmětu budou studenti rozumět základním pojmům a nástrojům teorie čísel (modulární aritmetika, řešení lineárních a kvadratických rovnic), zvládat postupy pro řešení úloh, se kterými se mohou setkat ve své praxi (včetně úloh MO), a umět uvést příklady využití poznatků z teorie čísel v různých aplikacích.

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)

Cíl předmětu

Studující získává základní přehled o hlavních tvrzeních a myšlenkách z oblasti teorie čísel.

Studující aplikuje probírané algoritmy, tvrzení a úvahy při řešení obdobných úloh, které byly v rámci kurzu probrány.

Studující odvozuje, zdůvodňuje a dokazuje vybraná tvrzení, která jsou součástí kurzu, stejně tak definuje zavedené pojmy a dokáže uvést adekvátní příklady a nepříklady.

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)

Podmínky zakončení předmětu

Zápočet bude udělen na základě splnění dvou sérií domácích úloh a zápočtového testu.

• Domácí úlohy: Dvě série úloh, které budou zadány a odevzdány v průběhu semestru. Vybraná řešení a problematické jevy budou diskutovány při závěrečném společném kolokviu.

• Zápočtový test: Písemka vycházející z úloh v domácích úkolech a z probírané teorie. Pro úspěšné splnění je nutná správnost alespoň 2/3 úloh. Na písemku jsou celkem tři pokusy.

V kurzu je povinná aktivní účast (alespoň 60 %).

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (01.03.2026)

Literatura

Hlavní zdroje:

Křížek, M., Somer, L. a Šolcová, A. Kouzlo čísel: od velkých objevů k aplikacím. Academia, 2018.

Stanovský, D. Základy algebry. MatfyzPress, 2010.

Stillwell, J.  Elements of Number Theory. Springer, 2003.

BP Michal, J. Číselné obory a soustavy. PedF, 2018. http://hdl.handle.net/20.500.11956/104121

BP Kaňáková, N. Lineární diofantické rovnice a kongruence. PedF, 2022. http://hdl.handle.net/20.500.11956/175503

BP Kovářík, M. Polynomiální a exponenciální kongruence. PedF, 2023. http://hdl.handle.net/20.500.11956/187687

Další materiály sdílené prostřednictvím Moodlu.

Možné doplňkové zdroje:

Koblitz, N. A Course in Numer Theory and Cryptography. Springer-Verlag, 1998. Rosen, H. Elementary Number Theory and Its Applications. Addison-Wesley, 2000. Masáková, Z., Pelantová, E.: Teorie čísel. ČVUT, 2017. Harminc, M.: Elementární teorie čísel. PedF UK, 2015.

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)

Sylabus

(1) Úvodní motivace + Nepoziční a poziční číselné soustavy.

(2) Kritéria dělitelnosti a jejich odvození.

(3) Kongruence a modulární aritmetika.

(4) Lineární kongruence a diofantické rovnice a jejich soustavy.

(5) Od nejmenšího společného násobku k čínské větě o zbytcích.

(6) Polynomiální a exponenciální kongruence: Malá Fermatova věta, Eulerova funkce a Eulerova věta, náhled grupové struktury.

(7) Kvadratické kongruence a diofantické rovnice: kvadratické zbytky, Legendrův a Jacobiho symbol, Gaussova věta o kvadratické reciprocitě.

(8) Aplikace TČ v šifrování.

(9) Použití TČ ve škole a v MO.

+ Další témata dle času a zájmu studentů.

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)

Studijní opory

Ke kurzu je vytvořen kurz v LMS Moodle (heslo k zápisu dostanou zapsaní studenti na prvním semináři).

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)

Výsledky učení

Studující aplikuje probírané pojmy, algoritmy, tvrzení a úvahy, když s porozuměním řeší obdobné úlohy, které byly v rámci kurzu probrány. V případech, se kterými se nesetkal, studující aplikuje adekvátní teorii.

Studující s porozuměním formuluje, odvozuje, zdůvodňuje a dokazuje ta tvrzení, která byla v rámci kurzu formulována, odvozena, zdůvodněna nebo dokázána, případně ta, u nichž bylo upozorněno na potřebu jejich znalosti. V průběhu odvození, zdůvodnění či důkazu studující dokáže objasnit jednotlivé kroky nebo roli předpokladů. Probíraná tvrzení studující dokáže aplikovat v obdobných situacích jako v rámci kurzu. 

Studující definuje pojmy, se kterými se v rámci kurzu pracuje a které byly nově zavedeny. U pojmů uvádí vhodný příklad a nepříklad. 

Studující vyjmenuje některé aplikace teorie čísel v reálném světě a dokáže je provázat s matematickými jevy, které se k nim pojí.

Výstupy předmětu jsou cíleny převážně na rozvoj výstupů 1.1.1, 1.1.2 a 1.1.3 Kompetenčního rámce absolventa a absolventky učitelství (KRAU).

Poslední úprava: Michal Jakub, PhDr., Ph.D. (09.09.2025)