|
|
|
||
|
Poslední úprava: G_M (25.05.2007)
|
|
||
|
Poslední úprava: G_M (25.05.2007)
P. Habala, P. Hájek and V. Zizler, Introduction to Banach spaces I, II, Matfyzpres Praha, 1996 J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, skripta, Karolinum Praha, Univerzita Karlova, 1998, 2002, 2003 J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál, skripta, Univerzita Karlova 1993 (anglické vydání 1995, 2005) W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha 1977 (přepracované vydání 2003) W. Rudin, Functional analysis, Mc Graw Hill 1973 (ruský překlad 1975) |
|
||
|
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc. (16.02.2011)
1.A. Topologické lineární prostory definice, příklady, základní vlastnosti vlastnosti filtru okolí nuly, von Neumannovy axiomy, regularita
1.B. Lokálně konvexní prostory definice, filtr okolí nuly, barely barelované prostory, vztah k Banach-Steinhausově větě Baireovy LCS, Fréchetovy prostory Minkowského funkcionál, základní vlastnosti, jeho spojitost omezené množiny podle Banacha i von Neumanna Kolmogorovovo kriterium normovatelnosti, metrizovatelnost LCS vytváření LCS pomocí systému pseudonorem, filtr okolí nuly, příklady, charakteristika konvergence
1.C. Slabé topologie a dualita slabé topologie, duál ve slabé topologii, báze okolí nuly Hahn-Banachova věta pro LCS topologie souhlasející s dualitou oddělování konvexních množin, malá Mazurova věta uzávěr konvexní množiny v topologiích souhlasejících s dualitou (absolutní) polára a její vlastnosti, věta o bipoláře silná topologie, reflexivita a semireflexivita LCS Alaoglu-Bourbakiho věta, Goldstinovo lemma charakteristiky reflexivních Banachových prostorů (Pettis, Banach-Bourbaki, James) Eberlein-Šmulianova charakteristika kompaktních množin ve slabých topologiích Banachových prostorů
1.D. Kompaktní konvexní množiny extremální body, příklady Bauerův princip minima Krejn-Milmanova věta a neprázdnost množiny extremálních bodů extremální body a uzavřenost jednotkové sféry prostoru Radonových měr, aproximace molekulárními měrami
1.E. Integrální reprezentace pojem těžiště a reprezentující míry, ilustrace v eukleidovských prostorech (Caratheodoryova věta) formulace úlohy o integrální reprezentaci, existence a jednoznačnost reprezentující míry soustředěné na uzávěru či množině extremálních bod? (reformulace Krejn-Milmanovy věty), Rieszova věta o reprezentaci jako věta tohoto typu množina extremálních bodů, její měřitelnost, Bauerova charakteristika Choquetova věta o integrální reprezentaci (existence maximálních reprezentujích měr) pojem nekonečně-dimenzionálního simplexu Laplaceova transformace měr a funkcí, úplně monotonní funkce, Bernsteinova věta
2. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET V BANACHOVÝCH PROSTORECH
2.A. Diferenciální počet v Banachových prostorech Gateauxova a Fréchetova derivace, zobrazení třídy C ^1
2.B. Základy variačního počtu formulace klasických úloh, metody řešení Du Bois-Reymondovo lemma a Euler-Lagrangeovy rovnice existenční věta pro konvexní zdola polospojité funkcionály v reflexivních Banachových prostorech
2.C. Vektorové integrace Riemann-Gravesův integrál silná a slabá měřitelnost, vztah mezi nimi absolutní a bezpodmínečná konvergence v Banachových prostorech definice Bochnerova integrálu a jeho základní vlastnosti Dunfordovo lemma, Dunfordův a Pettisův integrál vztah Bochnerova a Pettisova integrálu klasická Radon-Nikodýmova věta, derivování vektorových funkcí omezené variace, prostory s RNP a KMP Početní technika: extremální body konvexních množin slabé a silné derivace funkcionálů extrémy funkcionálů, použití Euler-Lagrangeových rovnic |