V přednášce se studenti seznámí s analytickými formulacemi klasické mechaniky hmotných bodů a tuhého tělesa
a s úvodem do teorie kontinua. Jádrem výkladu je zavedení a pochopení Lagrangeova a Hamiltonova formalismu,
včetně nejdůležitějších aplikací a pojmů klíčových pro kvantovou a relativistickou teorii.
Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (16.01.2018)
In this course the students will learn analytic formulations of classical mechanics of point particles and rigid body,
and an introduction to fluid mechanics. The core of the course is the Lagrangian and Hamiltonian formalism,
including their most important applications and key concepts of quantum and relativistic physics.
Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (16.01.2018)
Cíl předmětu -
Cílem předmětu je pochopení analytických formulací klasické mechaniky a jejich použití k efektivnímu řešení netriviálních úloh.
Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (16.01.2018)
The aim of the course is an understanding of analytic formulations of classical mechanics and their application as effective solution methods of nontrivial problems.
Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (16.01.2018)
Podmínky zakončení předmětu
Podmínkou pro udělení zápočtu je získání alespoň 60 bodů. Celkově posluchač může získat až 100 bodů a to za:
1) Samostatně vypracované domácí úlohy. Zadány budou čtyři po 10 bodech, tedy celkem až 40 bodů,
2) Úspěšné napsání testu obsahujícího tři příklady v předem vyhlášeném termínu ke konci semestru, za který lze získat až 60 bodů.
Pokud posluchač získá v průběh semestru alespoň 80 bodů, nemusí při zkoušce psát písemnou část. Požadavky u ústní části zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce v daném akademickém roce.
Upřesnění: Příklady k domácímu vypracování budou zadávány průběžně a je nutné je odevzdat vždy do 14 dnů po zadání. Zadaní těchto příkladů se bude vyvěšovat na www stránkách předmětu. Pokud posluchač v průběhu semestru nezíská potřebný počet bodů, může získat náhradní body v písemce před zkouškou. Ústní část zkoušky může tentýž den absolvovat jen ve výjimečných případech (výtečně napsaná písemka, zdravotní či jiné vážné důvody). Případy dlouhodobého onemocnění apod. vyřeší vedoucí cvičení individuálně.
Poslední úprava: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (28.09.2021)
J. Podolský: Teoretická mechanika ve třech knihách, Karolinum a MatfyzPress, Praha, 2024.
M. Brdička, A. Hladík: Teoretická mechanika, Academia, Praha, 1987.
J. Horský, J. Novotný, M. Štefaník: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, 2001.
M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000.
H. Goldstein, C. Poole, J. Safko: Classical Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, 2002.
J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha, 1970.
K. R. Symon: Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1971.
J. Kvasnica a kol.: Mechanika, Academia, Praha, 1988.
Poslední úprava: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (05.10.2024)
Metody výuky
přednáška + cvičení
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)
Sylabus -
Předehra, motivace, nástin obsahu a opakování
Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).
Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám
Síly vtištěné versus reakce podložky. Parametrický popis plochy, normála. Lagrangeovy rovnice I.druhu (intuitivní zavedení, rozbor a ilustrace na jednoduchých příkladech). Obecný tvar rovnic pro N hmotných bodů, v vazeb. Klasifikace vazeb: jednostranná - oboustranná, holonomní - neholonomní, skleronomní - rheonomní. Virtuální posunutí a dynamika systému s vazbami: d'Alembertův princip. Důsledky principu: Newtonovy rovnice pro pohyb bez vazeb, hledání rovnováhy pomocí principu virtuální práce, ekvivalence s Lagrangeovými rovnicemi I.druhu.
Lagrangeovy rovnice II.druhu
Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace jak elegantně dospět k pohybovým rovnicím na příkladě cykloidálního kyvadla.
Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu
Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic (vhodná volba zobecněných souřadnic, vyjádření T a V v těchto souřadnicích, sestavení L, příslušné derivace, jejich dosazení do Lagrangeových rovnic II.druhu). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky integrace pohybových rovnic: hledání přibližného řešení pomocí linearizace (matematické kyvadlo), hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.
Pohyb planet a další aplikace
Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.
Hamiltonův variační princip
Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona, geodetiky v obecné teorii relativity). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Jeho hlavní důsledky: Lagrangeovy rovnice II.druhu i I. druhu. Symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové pro invariantní L). Zmínka o kalibračních transformacích a polích. Náznak zobecnění variačního přístupu pro pole klasické i kvantové.
Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.
Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie
Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti (přehled základních algoritmů, příklad). Analogie s termodynamickými potenciály. Odvození Hamiltonovy-Jacobiho rovnice jakožto důsledku vhodné kanonické transformace, algoritmus jejího řešení, metoda separace proměnných a příklad (volný pád). Aplikace ve fyzice: optika (vlnoplocha -> paprsek), kvantová mechanika (kvaziklasické přiblížení: Schroedingerova rovnice -> Hamiltonova-Jacobiho rovnice), Feynmanova formulace kvantové teorie pomocí dráhových integrálů.
Mechanika tuhého tělesa
Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic, zavedení vektoru úhlové rychlosti jakožto duálu k nim. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci (Chaslesova věta). Důsledek pro kinetickou energii (Koenigova věta). Drobná perlička: jednoduché odvození pohybových rovnic v neinerciálním systému z Lagrangeovy funkce.
Eulerovy rovnice a setrvačníky
Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.
Teorie kontinua
Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: hustota Lagrangeovy funkce pro příčné kmity struny. Odvození Eulerových-Lagrangeových pohybových rovnic pro spojité prostředí z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza). Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování. Dva možné popisy pohybu kontinua: Lagrange versus Euler. Vektor posunutí a pole rychlosti.
Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua
Připomenutí tenzoru malých deformací a tenzoru napětí. Pohybová rovnice obecného kontinua a rovnice kontinuity, podmínky rovnováhy. Reologická klasifikace látek (od tuhé látky po ideální tekutinu). Zobecněný Hookův zákon pro izotropní těleso s interpretací příslušných koeficientů.
Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua
Pohybová rovnice izotropního prostředí. Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny a vlny v ní, odvození rychlosti zvuku. Bernoulliova rovnice jakožto 1.integrál. d'Alembertův hydrodynamické paradoxon pro nevířivou a nestlačitelnou ideální tekutinu. Navierova-Stokesova pohybová rovnice pro vazkou tekutinu. Ilustrace: proudění dlouhou trubicí (odvození parabolického rychlostního profilu a Poiseuillova-Hagenova zákona). Krátce o laminárním proudění versus turbulenci a Reynoldsově čísle.
Poslední úprava: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (03.10.2011)
Exposition, motivation, and outline
Advantages of alternative formulations of some problems in physics. Illustrated by theories of gravity: Newton's gravitational force -> Poisson's equation (potential field) -> Einstein's equation (metric field, general relativity). Theoretical mechanics as formulation of Newton's laws of motion in various formalisms: for point masses, rigid bodies, and continuum. Motivation and outline of the course. Recalling the main ideas and principles of Newtonian mechanics. Limits of classical mechanics (relativistic and quantum mechanics).
Motion of point particles subject to constraints
Acting forces versus forces of constraints. Parametric description of curved surfaces, normal vectors. Lagrange's equations of the first kind (intuitive definition, analysis and illustration through simple examples). General form of the equations for N masses and v constraints. Classification of constraints: one-sided - double sided, holonomic - non-holonomic, scleronomic - rheonomic. Virtual displacement and dynamics of a system with constraints: d'Alembert's principle. Consequences: Newton's equations of motion without constraints, looking for equilibrium by means of the principle of virtual work, equivalence with Lagrange's equations of the first kind.
Lagrange's equations of the second kind
Generalized coordinates: don't use only (x,y,z). Occam's razor: don't use more coordinates than necessary. Configuration space: Zeno's paradox and independence of generalized velocities on generalized coordinates. Derivation of Lagrange's equations of the second kind. Lagrange's function L: cases without potential, with potential, with generalized potential (motion of a particle in a given electromagnetic field). Illustration: cycloidal pendulum.
The rules, methods, and tricks of the Lagrangian formalism
Recipe for deriving equations of motion (choice of appropriate generalized coordinates, expressing T, V, and thus L, performing corresponding derivatives, their substitution into Lagrange's equation of the second kind). Illustration: motion of a particle in the field of a central force. Methods and tricks of integrating the equations of motion: approximate solutions assuming linearization (mathematical pendulum), integrals of motion, i.e., the first integrals (cyclic coordinate -> conservation of the corresponding generalized momentum, explicit independence of L on time -> conservation of a generalized energy). Illustration: Binet's equation for motion in a central field.
Motion of planets and further applications
Kepler's problem: revolution of planets around the Sun. Derivation of Kepler's laws of planetary motion. Effective potential method. Comparison of classical and relativistic mechanics: motion around the Sun versus motion around a black hole, perihelion shift. Simplification of the problem of two bodies to motion of a single particle with reduced mass. The 3-body problem and celestial mechanics: a few words about deterministic chaos. Scattering of particles, the Rutherford formula for cross-section.
Hamilton's principle
Elements of the calculus of variations (motivation and explanation of the main ideas: Fermat's principle, brachistochrone, geodesics in general relativity). Extremum condition: the Euler-Lagrange equations. Definition of action, Hamilton's principle of least action. Its main consequences: Lagrange's equations of the second kind and of the first kind. Symmetries and the conservation laws (the theorem of Emmy Noether for invariant L). Briefly about gauge transformations and fields. Outline of generalization of variation approach to classical and quantum field theories.
Hamilton's canonical equations and the Poisson bracket
Generalized momentum as a canonically conjugate variable. The concept of phase space with some illustrations (oscillator, damping, chaos). Hamiltonian function. Derivation of Hamilton's canonical equations both from Hamilton's principle and from Lagrange's equations. Illustrations of canonical equations (harmonic oscillator, particle in electromagnetic field). Importance of Hamiltonian formalism for quantum theory (the Schroedinger equation, the Feynman diagrams as an expansion of interaction Hamiltonian) and statistical physics (partition function). Definition, basic properties, and the algebra of Poisson's brackets. Their analogy with commutators in quantum mechanics.
Canonical transformations and the Hamilton-Jacobi theory
Canonical transformations, generating functions and necessary conditions (summary of basic algorithms, examples). Analogy with thermodynamical potentials. Derivation of the Hamilton-Jacobi equation as a consequence of a suitable canonical transformation, solution methods (separation of variables), example (free fall). Applications in physics: optics (wave-surfaces -> rays), quantum mechanics (semi-classical approximation: the Schroedinger equation -> the Hamilton-Jacobi equation), the Feynman formulation of the quantum theory using path integrals.
Mechanics of rigid bodies
Recalling vectors and tensors in Euclidean space. Group of finite rotations and algebra of infinitesimal rotations. Their representation in terms of antisymmetric matrices, definition of the vector of angular velocity as dual to them. The rotation of a rigid body around fixed axis, the inertia tensor. Eigenvalues and eigenvectors, including an interpretation of the inertia ellipsoid. Kinetic energy of rotational motion. Decomposition of motion into translation and rotation (the Chasles' theorem). A consequence for the kinetic energy (Koenig's theorem). A simple derivation of equations of motion in non-inertial systems from the Lagrangian.
Euler's equations and spinning tops
Euler's angles and Euler's kinematic equations. The Lagrange function for a rigid body and derivation of Euler's dynamical equations. Explicit examples: motion of a symmetrical gyroscope and symmetrical top.
Description of continuous media
Transition from a finite system of point masses to a continuous system. Illustration: density of Lagrangian for transverse oscillations of a string. Derivation of the Euler-Lagrange equations for continuum from Hamilton's principle. Wave equation and basic methods of its solution: a) the d'Alembert method, b) separation of variables (normal modes, boundary and initial conditions, the Fourier analysis). Perspectives: classical fields and their quantization. Two possible descriptions of continuous media: Lagrange versus Euler. The displacement and velocity fields.
Basic equations for continuum
Recalling the tensor of small deformations and the stress tensor. The equation of motion of a general continuous media and the continuity equation, equilibrium conditions. Classification (from a solid state to an ideal fluid). Generalized Hook's law for isotropic bodies with interpretation of the coefficients.
The most interesting consequences of equations of continuous media
The equation of motion for isotropic continuum. Euler's equation for perfect fluid. Waves in the latter and the speed of sound. Bernoulli's theorem as the first integral. The d'Alembert hydrodynamic paradox for non-rotating, incompressible perfect fluid. The Naviere-Stokes equation for viscous fluids. Illustration: flow along a tube (parabolic velocity profile and the Poiseuill-Hagen law). Laminar versus turbulent flow, the Reynolds number.
Poslední úprava: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (04.10.2011)
