A posteriorní odhady chyby v numerických simulacích - NNUM054

• Anglický název: A posteriori error estimation in numerical simulation
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2018
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D.
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
• Záměnnost : NMNV464
• Je neslučitelnost pro: NMNV464
• Je záměnnost pro: NMNV464

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KNM (09.05.2011)

Přednáška se zabývá a posteriorními odhady chyby v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Je představen jednotný rámec zahrnující klasické numerické metody (metoda konečných objemů, metoda konečných prvků, smíšená metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda). Důraz je kladen na plně spočítatelné (zaručené) odhady a jejich využití pro efektivní výpočty (včasné zastavení lineárních a nelineárních řešičů, adaptivní zjemňování sítě, adaptivní volba časového kroku).

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (09.05.2011)

The course shows how to estimate a posteriori the error in numerical solution of partial differential equations. A unified framework covering classical numerical methods (finite element method, finite volume method, mixed finite element method, discontinuous Galerkin method) is presented. The emphasis is on fully computable (guaranteed) estimates and their use for efficient calculation (early stopping of linear and nonlinear solvers, adaptive mesh refinement, adaptive choice of the time step).

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Studenti se seznámí se základy a posteriorních odhadů chyb pro různé numerické metody.

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

The course gives students a knowledge of basics of a posteriori error estimates for various numerical methods.

Literatura

čeština

Poslední úprava: T_KNM (09.05.2011)

Vohralík, M., A posteriori error estimates for efficiency and error control in numerical simulations, skripta.

Ainsworth, M., Oden, J.T., A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley-Interscience, New York, 2000.

Repin, S.I., A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.

Verfürth, R., A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Teubner-Wiley, Stuttgart, 1996.

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (09.05.2011)

Vohralík, M., A posteriori error estimates for efficiency and error control in numerical simulations, lecture notes.

Ainsworth, M., Oden, J.T., A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley-Interscience, New York, 2000.

Repin, S.I., A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.

Verfürth, R., A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Teubner-Wiley, Stuttgart, 1996.

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Přednášky v posluchárně.

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Lectures in a lecture hall.

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Zkouška dle sylabu.

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Examination according to the syllabus.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KNM (12.05.2011)

Popis přednášky

 

Numerické simulace se staly nepostradatelným nástrojem pro přibližné řešení nejrůznějších jevů ve vědě, inženýrství, lékařství a mnoha jiných oborech.

 

Je nasnadě si položit dvě následující fundamentální otázky:

• Jak velká je chyba mezi přesným a přibližným numerickým řešením a jak je rozložena?
• Jak zajistit, aby numerická simulace byla efektivní - jak dosáhnout nejlepší možný výsledek za nejnižší možnou cenu (výpočetní čas, paměťová náročnost)?

Teorie a posteriorních odhadů umožňuje dát či alespoň naznačit odpovědi na tyto otázky. Tato přednáška prezentuje její základní principy pro modelové problémy. Je představen abstraktní jednotný rámec a tento rámec je pak aplikován na klasické numerické metody.

 

Témata přednášky

1. Základní vlastnosti a posteriorního odhadu:
1. plně spočítatelný (zaručený) odhad
2. lokální efektivita
3. asymptotická přesnost
4. robustnost zhledem k parametrům
5. výpočetní náročnost
2. Základní fyzikální a matematické principy a věty
1. konstitutivní zákon, rovnice rovnováhy, podmínky
2. spojitost potenciálu a spojitost normálové složky toku: prostory H¹ a H(div)
3. primární a duální variační formulace, energie a komplementární energie
4. Greenova věta
5. Pragerova a Syngeova věta
6. Poincaréova-Friedrichsova-Wirtingerova nerovnost
7. reziduál parciální diferenciální nerovnice
8. energetická norma a duální normy
3. Jednotný rámec pro a posterioriní odhady
1. Laplaceova rovnice
2. stacionární lineární konvekčně-diffúzně-reakční rovnice
3. Stokesův problém
4. rovnice vedení tepla
5. nelinární Laplaceova rovnice
4. Konstrukce a evaluace odhadů
1. aproximace prostorů H¹ (prostor konformních konečných prvků) a H(div) (Raviart-Thomasův prostor) na simpliciálních sítích
2. lokální „postprocessing“
3. ekvilibrace
5. Efektivita „reziduálních“ odhadů
1. „bubble“ funkce
2. ekvivalence norem na konečně-dimensionálních prostorech
3. inverzní nerovnosti
6. Použití odhadů
1. adaptivní zjemňování prostorových sítí
2. adaptivní zjemňování časového kroku
3. zastavovací kritéria pro lineární řešiče
4. zastavovací kritéria pro nelineární řešiče
7. Aplikace na základní numerické metody
1. metoda konečných prvků
2. metoda konečných objemů
3. smíšená metoda konečných prvků
4. nespojitá Galerkinova metoda

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (12.05.2011)

Course description

Numerical simulations have become a basic tool for approximation of various phenomena in the sciences, engineering, medicine, and many other domains.

Two questions of primordial interest are:

• How large is the overall error between the exact and approximate solutions and where is it localized?
• How to make the numerical simulation efficient - obtain as good as possible result for as small as possible price (calculation time, memory usage)?

The theory of a posteriori error estimation allows to give/indicate answers to these questions. This course presents its basic principles for model problems. An abstract unified framework is derived. Applications to classical numerical methods are given.

---

Course topics

1. Basic notions of an a posteriori estimate:
1. guaranteed upper bound
2. local efficiency
3. asymptotic exactness
4. robustness with respect to parameters
5. evaluation cost
2. Fundamental physical and mathematical principles and theorems
1. constitutive law, equilibrium equation, constraint
2. continuity of potential and continuity of the normal trace of flux: the spaces H¹ and H(div)
3. primal and dual variational formulations, energy and complementary energy
4. Green theorem
5. Prager and Synge theorem
6. Poincaré–Friedrichs–Wirtinger inequalities
7. residual of a partial differential equation
8. energy norm and dual norms
3. A unified framework for a posteriori error estimates
1. the Laplace equation
2. the stationary linear convection–diffusion–reaction equation
3. the Stokes problem
4. the heat equation
5. the nonlinear Laplace equation
4. Construction and evaluation of the estimators
1. approximation of the spaces H¹ (conforming finite element spaces) and H(div) (Raviart–Thomas spaces) on simplicial meshes
2. local postprocessing
3. equilibration
5. Efficiency of the "residual" estimates
1. bubble functions
2. equivalence of norms on finite-dimensional spaces
3. inverse inequalities
6. Use of the estimates
1. adaptation of spatial meshes
2. adaptation of the time step
3. stopping criteria for linear solvers
4. stopping criteria for nonlinear solvers
7. Application to different numerical methods
1. finite element method
2. finite volume method
3. mixed finite element method
4. discontinuous Galerkin method

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Předpokládá se dřívější absolvování základního kursu funkcionální analýzy a dřívější nebo současné absolvování kursu moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic, např. NDIR045.

angličtina

Poslední úprava: T_KNM (05.05.2011)

Students are expected to have attended a basic course of functional analysis and to have attended or to attend a course on the modern theory of partial differential equations, e.g., NDIR045.