Numerické řešení diferenciálních rovnic - NNUM010

• Anglický název: Numerical Solution of Differential Equations
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2018
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc.
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
• Záměnnost : NMNV539
• Je neslučitelnost pro: NNUM044, NNUM045, NMNV539
• Je záměnnost pro: NMNV539

Anotace

čeština

Jednokrokové a vícekrokové metody: algoritmy, analýza konvergence. Dynamické systémy (se spojitým a diskrétním časem).

Poslední úprava: T_KNM (27.04.2006)

angličtina

One-Step and Multistep Methods: algorithms, convergence analysis. Dynamical Systems (continuous and discrete time).

Poslední úprava: T_KNM (27.04.2006)

Cíl předmětu

čeština

Dynamické systémy: teorie a numerická aproximace.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

angličtina

Dynamical systems: theory and numerical approximation.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

Literatura

Deuflhart P., Bornemann F.: Scientific Computing with Ordinary Differential Equations, Springer Verlag, 2002

Hairer E., Norset S.P., Wanner G.: Solving Ordinary Differential Equations I (Nonstiff Problems), Second Revised Edition, Springer Verlag, 1993

Hairer E., Wanner G.: Solving Ordinary Differential Equations II (Stiff and Differential-Algebraic Problems), Springer Verlag, 1991

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

Metody výuky

čeština

Kurz se skládá z přednášky v posluchárně a cvičení v počítačové laboratoři.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

angličtina

The course consists of lectures in a lecture hall and exercises in a computer laboratory.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška dle sylabu.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

angličtina

Examination according to the syllabus.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

Sylabus

čeština

Příklady evolučních procesů (lineární reprodukce, explosivní rust, systém dravec-kořist, logistický růst, epidemické modely, volný pád, lineární/nelineární kyvadlo, elektrické kmity).

Základní pojmy a geometrické představy: soustava obyčejných diferenciálních rovnic, počáteční úloha, integrální krivka, fázová křivka, fázový prostor, vektorové pole, dynamický systém, tok vektorového pole, fázový portrét, pevný bod vektorového pole.

Jednokrokové metody: Příklady jednokrokových metod (Euler, Euler-Cauchy, lichoběžníkové pravidlo, Runge-Kuttova metoda, implicitní Eulerova metoda). Analýza konvergence obecné jednokrokové metody (lokální diskretizační chyba a její odhad, konvergenční věta). Adaptivní volba délky integračního kroku (idea algoritmu, ode12, ode23). Metody typu Runge-Kutta (explicitní a implicitní metody, stupeň metody, řád konvergence).

Vícekrokové metody: Idea numerické integrace (Adams-Bashfort, Adams-Moulton, Nystrom, Milne-Simpson), metody typu prediktor-korektor. Obecná lineární vícekroková metoda (diskretisační chyba, řád diskretisační chyby, D-stabilita, formulace konvergenční věty).

Dynamické systémy: Asymptotika časového vývoje (orbit, limitní množina), A-stabilita stacionárního řesení, linearisovaná stabilita, Liapunovova věta.

Dynamické systémy s diskrétním časem.

A-stabilita metody: Oblast A-stability metod typu Runge-Kutta. Oblast A-stability lineární m-krokové metody. "Stiff" problémy, A-stabilní metody.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

angličtina

ODE: Mathematical model of evolution (examples: population dynamics, chemical oscilations, etc.)

Revising ODE theory: The Existence and Uniqueness Theorems, geometric interpretation of a solution: vector field, phase flow, phase portrait. Taylor expansion of the flow.

One-Step Metods: elementary examples, convegence analysis, adaptive step-size, Runge-Kutta Methods, Implicit methods (Gauss, Radau, linearly Implicit RK, etc.)

Multistep Metods: The methods based on numerical integration and differentiation, Linear Multistep Methods (discretisation error, D-stability, covergence analysis).

Dynamical systems: A long time evolution (orbit, limit set), steady state, A-stability, linearization, Lyapunov Theorem. Discrete time dynamical systems.

A-stability of a method: Domain of A-stability for Runge-Kutta Methods and for linear Multistep Methods. "Stiff" problems. A-stable methods.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

Vstupní požadavky

čeština

Nejsou předpokládány žádné speciální znalosti.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)

angličtina

There are no special entry requirements.

Poslední úprava: T_KNM (17.05.2008)