Diferenciální rovnice pro pravděpodobnost - NMTP462

• Anglický název: Differential Equations for Probability
• Podoba výuky: přednáška
• Zajišťuje: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Počet semestrů výuky: 1
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Maximální kapacita předmětu: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Forma uskutečňování: prezenční
• Možnost opakovaného zápisu: 2 / 2 / 2 / 2
• Garant: Mgr. Jakub Slavík, Ph.D.
• Třída: M Mgr. PMSE; M Mgr. PMSE > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Pravděpodobnost a statistika
• Je záměnnost pro: NSTP186

Anotace

čeština

Přednáška se zabývá některými vybranými kapitolami teorie diferenciálních rovnic, které jsou důležité pro techniky užívané v teorii pravděpodobnosti. Speciálně, v teorii obyčejných diferenciálních rovnic: pojem Carathéodoryho řešení a jeho existence a jednoznačnost, spojitá závislost na počáteční podmínce, lineární rovnice v eukleidovském prostoru-struktura řešení, fundamentální matice, variace konstant, stabilita řešení pomocí linearizace a Lyapunovských funkcí; v teorii lineárních parciálních diferenciálních rovnic: klasifikace rovnic, rovnice vedení tepla, parabolické rovnice.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2026)

angličtina

In the lecture, some selected chapters from the theory of differential equations are dealt with. In particular, in the theory of ordinary differential equations: the notion of Carathéodory solution and its existence and uniqueness, continuous dependence on the initial datum, linear equations in a Euclidean space-structure of solutions, the fundamental matrix, variation of constants, the direct and indirect Lyapunov stability methods; in the theory of linear partial differential equations: classification of equations of the 2nd order, heat equation, parabolic equations.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (20.05.2026)

Cíl předmětu

čeština

Cílem předmětu je studium některých partií teorie obyčejných diferenciálních rovnic, rovnice vedení tepla a parabolických parciálních diferenciálních rovnic, které jsou užitečné v teorii pravděpodobnosti.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

angličtina

The subject is aimed at the study of certain parts of ordinary differential equations, the heat equation and parabolic partial differential equations that are useful in probability theory.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Ústní zkouška.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (29.05.2019)

angličtina

Oral exam.

Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (25.04.2018)

Literatura

J. Kurzweil: Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL Praha, 1978.

A. Friedman: Partial Differential Equations of Parabolic Type. Prentice-Hall, N.J., 1964.

Poslední úprava: T_KPMS (16.05.2013)

Metody výuky

čeština

Přednáška.

Poslední úprava: T_KPMS (16.05.2013)

angličtina

Lecture.

Poslední úprava: T_KPMS (16.05.2013)

Kontroly studia předmětu a podmínky pro jejich úspěšné vykonání, způsob hodnocení

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky (mohou se měnit podle odpřednášeného materiálu):

Přesná znění definic a vět:

část ODR: pojem řešení (v Carathéodoryho smyslu), věty o lokální existenci, neexplozi, spojité závislosti na počátečních podmínkách, definice dynamického systému, stability, asymptotické a exponenciální stability.

část PDR: pojem řešení rovnoce vedení tepla a parabolických rovnic, fundamentální řešení, věta o existenci řešení rovnice vedení tepla a parabolických rovnic, jednoznačnost řešení rovnice vedení tepla.

Příklady.

Důkazy:

část ODR: věty o lokální existenci (využívající Schauderovu větu o pevném bodě), rozšíření na maximální řešení, postačující podmínky pro neexplozi, věty o stabilitě.

část PDR: existence řešení rovnice vedení tepla.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

angličtina

The examination is oral. Requirements (may be modified based on current material):

Rigorous and correct formulations of all definitions and statements:

ODE part: generalized solution (in the Carathéodory sense), theorems on local existence, nonexplosion, continuous dependence on initial data, definition of dynamical system, stability, asymptotic and exponential stability.

PDE part: concept of solution of heat equation and parabolic PDEs, fundamental solution, existence theorem for heat equation and parabolic PDEs, uniqueness for heat equation.

Examples.

Proofs required:

ODE part: local existence (based on Schauder fixed point), extension to maximal solutions, sufficient conditions for nonexplosion, theorems on stability.

PDE part: existence of solutions of heat equation.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

Sylabus

čeština

1) Teorie obyčejných diferenciálních rovnic: pojem Carathéodoryho řešení a jeho existence a jednoznačnost, spojitá závislost na počáteční podmínce, lineární rovnice v eukleidovském prostoru-struktura řešení, fundamentální matice, variace konstant, linearizovaná stabilita, Lyapunovské funkce.

2) Teorie lineárních parciálních diferenciálních rovnic: klasifikace rovnic, rovnice vedení tepla (Cauchyova úloha), parabolické rovnice.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

angličtina

1) the theory of ordinary differential equations; the notion of Carathéodory solution and its existence and uniqueness, continuous dependence on the initial datum, linear equations in a Euclidean space-structure of solutions, the fundamental matrix, variation of constants, indirect and direct Lyapunov stability.

2) the theory of linear partial differential equations; classification of PDEs, heat equation (the Cauchy problem), parabolic equations.

Poslední úprava: Slavík Jakub, Mgr., Ph.D. (20.05.2026)

Podmínky zápisu předmětu

čeština

K zapsání předmětu je potřebná základní znalost matematické analýzy včetně teorie míry a Lebesgueova integrálu.

Poslední úprava: Maslowski Bohdan, prof. RNDr., DrSc. (24.05.2018)

angličtina

In order to enroll, basic knowledge of standard calculus including measure theory and Lebesgue integral are required.

Poslední úprava: Maslowski Bohdan, prof. RNDr., DrSc. (24.05.2018)