Volitelný předmět vhodný zejména pro studenty magisterských programů „Matematické modelování ve
fyzice a technice“ a „Numerická a výpočtová matematika“. Cílem tohoto kurzu je představit některé
nástroje a techniky, které se používají při numerické analýze nelineárních PDE a variačních problémů. Po
připomenutí některých základů analýzy PDE a metody konečných prvků probereme v první části kurzu
některé obecné principy diskretizace nelineárních PDE. Následně se zaměříme na numerickou analýzu
několika klasických nelineárních problémů.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Elective course suitable especially for students of the Master's programmes “Mathematical Modelling in
Physics and Technology” and “Numerical and Computational Mathematics”. The aim of this course is to
showcase some of the tools and techniques that are employed in the numerical analysis of nonlinear PDE
and variational problems. After recalling some basics of the analysis of PDE and the finite element
method, in the first section of the course we will discuss some general discretisation principles for
nonlinear PDE. Subsequently, we turn to the numerical analysis of a few archetypical no
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Podmínky zakončení předmětu -
Na konci semestru se bude konat ústní zkouška. Studenti by měli získat alespoň 50 % bodů z úloh
zadaných v průběhu semestru, aby měli právo zúčastnit se závěrečné zkoušky.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
There will be an oral exam at the end of the semester. The students should obtain at least 50% of the
points in the problem sheets to have the right to take part in the final exam.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Literatura -
Bartels, S., Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations,
Springer Series in Computational Mathematics 47, 2015.
Během přednášky budou poskytnuty doplňkové materiály.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Bartels, S., Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations,
Springer Series in Computational Mathematics 47, 2015.
Supplementary material will be provided during the lecture.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Sylabus -
1. Ǔvod do matematické analýzy PDE.
1.1 Sobolevovy prostory
1.2 Variační úlohy a přímá metoda
1.3 Gradientní toky
2. Úvod do metody konečných prvků
2.1 Interpolace metodou konečných prvků
2.2 Lineární Poissonova rovnice
2.3 Lineární rovnice tepla
3. Důkaz konvergence numerické diskretizace
3.1 Slabá konvergence, monotónní operátory
3.2 Gama konvergence
3.3 Odhady chyb pro silně konvexní úlohy
4. Aplikace na nelineární problémy (na výběr)
3.1 P-Laplacián
3.2 Problém s překážkou
3.3 Odšum s celkovou variací
3.4 Problémy ohýbání desek
3.5 Allenova-Cahnova rovnice
3.6 Harmonická zobrazení
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
1. A crash course on the mathematical analysis of PDE.
1.1 Sobolev spaces
1.2 Variational problems and the direct method
1.3 Gradient flows
2. A crash course on the finite element method
2.1 Finite element interpolation
2.2 The linear Poisson equation
2.3 The linear heat equation
3. Proving convergence of numerical discretisation
3.1 Weak convergence, monotone operators
3.2 Gamma convergence
3.3 Error estimates for strongly convex problems
4. Applications to nonlinear problems (to choose)
3.1 The p-Laplacian
3.2 The obstacle problem
3.3 Total variation denoising
3.4 Plate bending problems
3.5 The Allen-Cahn equation
3.6 Harmonic maps
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Vstupní požadavky -
Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic, základy metody konečných prvků v rozsahu předmětů
Metoda konečných prvků 1 - NMNV405 a Parciální diferenciální rovnice 1 - NMMA405.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
Fundamentals of the theory of partial differential equations, fundamentals of the finite element method in
the scope of the courses Finite Element Method 1 - NMNV405 and Partial Differential Equations 1 -
NMMA405.
Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)
