Teorie čísel - NMMB206

• Anglický název: Number Theory
• Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: letní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://www1.karlin.mff.cuni.cz/~kala/web/teaching/24tc
• Garant: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Vyučující: Bc. Simona Hlavinková; doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Třída: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinně volitelné; M Bc. MMIB > 2. ročník; M Bc. MMIT; M Bc. MMIT > Povinně volitelné; M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MSTR; M Bc. OM > Povinně volitelné; M Bc. OM > 2. ročník
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
• Neslučitelnost : NMIB001
• Záměnnost : NMIB001
• Je prerekvizitou pro: NMMB349
• Je záměnnost pro: NMIB001

Anotace

čeština

V rámci předmětu vybudujeme základy teorie čísel. Zejména se budeme věnovat existenci prvočísel (odhady jejich počtu, speciální případ Dirichletovy věty o aritmetické posloupnosti), řešení diofantických rovnic a kongruencí (Pellova rovnice, kvadratická reciprocita), aproximacím reálných čísel pomocí řetězových zlomků a testování prvočíselnosti Rabin-Millerovým testem. Většina těchto témat netriviálním způsobem využívá a rozšiřuje látku ze souběžného kurzu Algebry.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (20.05.2025)

angličtina

In the course we will build up the fundamentals of number theory. We will focus on the existence of primes (estimates of their number, a special case of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions), solving Diophantine equations and congruences (Pell equation, quadratic reciprocity), approximations of real numbers using continued fractions, and primality testing by the Rabin-Miller test. Most of these topics non-trivially apply and extend material from the parallel Algebra course.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (21.05.2025)

Podmínky zakončení předmětu

Zápočet se uděluje za úspěšné vyřešení několika sad domácích úkolů zadaných během semestru (pro detaily viz web). Zápočet není nutnou podmínkou účasti u zkoušky.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (02.02.2022)

Literatura

čeština

skripta Vítězslava Kaly: https://www.karlin.mff.cuni.cz/~kala/files/TC25.pdf

Borevič, Šafarevič: Number Theory, Academic Press 1966;

Riesel: Prime numbers and computer methods for factorization, Birkhäuser 1985;

Cohen: A course in computational algebraic number theory, Springer-Verlag 1993.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (26.02.2025)

angličtina

lecture notes by Vítězslav Kala: https://www.karlin.mff.cuni.cz/~kala/files/TC25.pdf

Borevič, Šafarevič: Number Theory, Academic Press 1966;

Riesel: Prime numbers and computer methods for factorization, Birkhäuser 1985;

Cohen: A course in computational algebraic number theory, Springer-Verlag 1993.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (26.02.2025)

Požadavky ke zkoušce

Zkouška bude písemná s několika teoretickými i početními otázkami pokrývajícími látku probranou na přednášce a cvičení.

Detaily viz web kurzu.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (02.02.2022)

Sylabus

čeština

1. Řetězové zlomky, Pellova rovnice

2. Charaktery, kvadratická reciprocita, Jacobiho symboly

3. Modulární aritmetika, Rabin-Millerův test prvočíselnosti, kryptosystém RSA

4. Hustota prvočísel, Čebyševův odhad, cyklotomické polynomy

Poslední úprava: Stanovský David, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2021)

angličtina

1. Continued fractions, Pell's equation

2. Characters, quadratic reciprocity, Jacobi symbols

3. Modular arithmetic, Rabin-Miller test, cryptosystem RSA

4. Density of prime numbers, Chebyshev's bound, cyclotomic polynomials

Poslední úprava: Stanovský David, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2021)