|
|
|
||
|
Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331 Úvod do funkcionální
analýzy.
Poslední úprava: Töpfer Pavel, doc. RNDr., CSc. (02.05.2019)
|
|
||
|
Pravidla pro akademický rok 2025/2026:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.
Před skládáním zkoušky je třeba získat zápočet.
Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení dvou domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého příkladu na cvičení.
V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.
Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení jsou uvedeny na webu přednášejícího. Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (17.09.2025)
|
|
||
|
Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997) M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968) J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005) J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003) J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989) K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988) I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972) P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990) W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003) W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975) J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975) A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973) Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
|
|
||
|
Podmínky pro akademický rok 2025/2026:
Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, zvolí si, zda si při opravném termínu nechá uznat již složenou písemnou část s dosaženým počtem bodů nebo zda bude skládat celou zkoušku včetně písemné. Pokud zvolí druhou možnost, k výsledku dříve složené písemné část se již nepřihlíží.
Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru. Pro úspěšné složení písemné části je třeba získat nadpoloviční počet bodů.
Při ústní části si student vylosuje sadu otázek, která bude obsahovat znění a důkazy vět z přednášky a problém řešitelný metodami vyloženými během semestru. Pro úspěšné složení ústní části je třeba získat nadpoloviční počet bodů.
Podrobnější podmínky, vzorové příklady, seznamy otázek atp. budou zveřejněny na webu přednášejícího. Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (17.09.2025)
|
|
||
|
1. Banachovy a Hilbertovy prostory normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů
konvergence řad v Banachových prostorech
Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.
prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze
reálné prostory vs. komplexní prostory 2. Dualita a Hahn-Banachova věta Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky oddělování konvexních množin
kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory
reprezentace duálů ke klasickým prostorům
slabá (případně slabá*) konvergence posloupností (definice, porovnání, příklady, charakterizace v klasických prostorech)
vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů) 3. Operátory na Banachových prostorech Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu
Kvocient, projekce, komplementovanost
Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů
Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory
Spektrum operátoru
Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra
Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru 4. Fourierova transformace Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1 Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm
Věta o inverzi
Plancherelova transformace na L_2 Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
|
|
||
|
Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu. Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
|