Derivace a integrál pro pokročilé 1 - NMMA437

• Anglický název: Advanced Differentiation and Integration 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024 do 2024
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza

Anotace

čeština

Reálně analytické vlastnosti sobolevovských funkcí. Záměna proměnných v integrálu pro lipschitzovské transformace – area a coarea formula. Derivování konvexních funkcí. Povinně volitelná přednáška magisterského oboru Matematická analýza.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

angličtina

Real-analytic properties of Sobolev functions. Change of variables in integral for Lipschitz transformations – area and coarea formula. Differentiation of convex functions. Recommended for master students of mathematical analysis.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (10.10.2017)

angličtina

The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

Literatura

čeština

L. C. Evans, R. F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992

W. P. Ziemer: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Springer-Verlag, New York, 1989

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

angličtina

L. C. Evans, R. F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992

W. P. Ziemer: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Springer-Verlag, New York, 1989

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

angličtina

The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

Sylabus

čeština

1. Reálně analytické vlastnosti sobolevovských funkcí.

• Odhad Rieszovým potenciálem

• Beppo Leviho charakterizace

• Věty o vnoření

• Kritéria pro spojitost

• Aproximativní diferencovatelnost, kritéria pro diferencovatelnost skoro všude.

• Příklady na nespojitost a nediferencovatelnost

2. Záměna proměnných v integrálu pro lipschitzovské transformace

• Area formula

• Coarea formula

• Věty Sardova typu

• Luzinova podmínka N

3. Derivování konvexních funkcí.

• Lipschitzovské odhady

• Zajíčkova věta o prvé derivaci (informativně)

• Alexandrovova věta o druhé derivaci skoro všude

Poslední úprava: Hencl Stanislav, prof. RNDr., Ph.D. (01.10.2013)

angličtina

1. Real-analytic properties of Sobolev functions

Riesz potential estimate

Beppo Levi's characterization

Embedding theorems

Approximate differentiability, a.e. differentiability

Examples concerning discontinuity and non-differentiability

2. Change of variables in integral for Lipschitz transforms

Area formula

Coarea formula

Sard type theorems

Luzin's (N) condition

3. Differentiation of convex functions

Lipschitz estimates

Zajíček's theorem (informatively)

Alexandrov's theorem

Poslední úprava: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (09.06.2015)

Vstupní požadavky

čeština

Míry, Radon-Nikodýmova věta, Lebesgueův integrál, Radonovy míry, konvoluce, zhlazování konvolucí, silná, slabá a slabá* konvergence v Banachových prostorech,

základy teorie distribucí, lipschitzovské funkce a zobrazení, Hahn-Banachova věta, Hausdorffova míra, L^p prostory a prostory spojitých funkcí.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (02.05.2018)

angličtina

Measures, Radon-Nikodym theorem, Lebesgue integral, Radon measures, convolution, smoothing by convolution, strong, weak and weak* convergence in Banach spaces, elements of theory of distributions, Lipschitz functions and mappings, Hahn-Banach theorem, Hausdorff measure, L^p spaces and spaces of continuous functions

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (02.05.2018)