Jedná se o základní přednášku z teorie parciálních diferenciálních rovnic, ve které se studenti seznámí s pojmem
slabého (distributivního) řešení, souvisejícími prostory funkcí a teorií pro lineární rovnice.
Poslední úprava: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (07.01.2019)
This is the basic course about the theory of partial differential equations. The notion of a weak (distributional) solution and the corresponding function spaces will be introduced and we establish the theory for (linear) elliptic equations.
Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (11.09.2013)
Podmínky zakončení předmětu -
Předmět bude zakončen zkouškou, která bude mít písemnou a ústní část a prověří znalosti z látky probrané během semestru.
Ke zkoušce je nutný zápočet, který bude udělen za vypracování domácích úkolů, jedné písemky a aktivní účasti na cvičení (písemku nelze opakovat, ale včetně aktivní účasti na cvičení nahradit splněním dodatečných domácích úkolů).
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
At the end of the semester there will be an exam, that will have written and oral part. Students are supposed to provide the knowledge of the theory taught during the semester.
Students are obliged to solve homeworks correctly for passing the tutorials. It is also a necessary condition in order to pass the exam. There will be one written test during the semester and together with the active participation at exercises count to the points necessary for the receiving the credits. However, missing points from the written test-active participation can be obtianed for extra homeworks.
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
Literatura -
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010
M. Bulíček, M. Pokorný: Itroduction to the of weak solutions for PDE's. https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~pokorny/LectureNotes/moderni_teorie_color.pdf
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010
M. Bulíček, M. Pokorný: Itroduction to the of weak solutions for PDE's. https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~pokorny/LectureNotes/moderni_teorie_color.pdf
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
Požadavky ke zkoušce -
Dle sylabu
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
According to sylabus
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
Sylabus -
Obecný pojem slabého řešení
Sobolevovy prostory: definice a přehled základních vlastností, věty o vnoření, věty o stopách
Slabá řešení lineární eliptické rovnice na omezené oblasti, různé okrajové podmínky, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci a pomocí Lax-Milgramovy lemmy, kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru, Fredholmova alternativa a její aplikace, princip maxima pro slabé řešení, $W^{2,2}$ regularita, vyšší regularita, symetrický operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu
Bochnerovy prostory: definice a přehled základních vlastností, vnoření, itegrace per partes
Slabá řešení pro lineární parabolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení.
Slabá řešení pro lineární hyperbolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost řešení, konečná rychlost šíření informace.
Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (04.10.2018)
General notation of weak solutions
Sobolev spaces: definition and basic overview of its properties, embedding and trace theorems
Weak solutions to linear elliptic equations on bounded domains, various boundary conditions, solution by the use of the Riesz representation theorem and the use of the Lax-Milgram theorem, compactness of the solution operator, eigen-values and eigen-vectors of the solution operator, Fredholm-like theorems and their applications, maximum principle for weak solution, $W^{2,2}$ and higher regularity, symmetric operators and the equivalence with minimizing of a quadratic functional
Bochner spaces: defintion and basic overview of its properties, Gelfand triple, integration by parts formula, embeddding.
Weak solutions to linear parabolic equations, various boundary conditions, construction of a solution via Galerkin method, uniqueness and regularity of solution.
Weak solution to linear hyperbolic equation, various boudary codition, construction of a solution via Galerkin method, uniqueness of solution, finite speed of propagation.
Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (04.10.2018)
Vstupní požadavky -
Základy matematické analýzy, teorie míry a integrálu (Lebesgueův inteagrál a Lp prostory), klasické teorie PDR. Během semestru se předpokládá i znalost některých elementů z funkcionální analýzy (Rieszova věta o reprezentaci pro Hilbertovy prostory, spektrum kompaktního samoadjungovaného operátoru, slabá konvergence).
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
Basic knowledge of the mathematical analysis, measure theory (including the Lebesgue spaces) and the classical theory of PDEs is needed. Furthermore, starting from the middle of the semester also some basic facts from the functional analysis will be required (Riesz representation theorem for Hilbert spaces, spectrum of selfadjoint compact operators, weak convergence).
Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (30.09.2025)
