Funkcionální analýza 2 - NMMA402

• Anglický název: Functional Analysis 2
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: letní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
• Neslučitelnost : NRFA054
• Záměnnost : NRFA054
• Je záměnnost pro: NRFA054

Anotace

čeština

Povinný předmět magisterského programu Matematická analýza částečně navazující na předmět NMMA401. Doporučen pro první ročník magisterského studia. Obsahuje pokročilá témata z funkcionální analýzy - spektrální teorie v Banachových algebrách, Gelfandova transformace, spektrální teorie omezených a neomezených operátorů.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

angličtina

Mandatory course for the master study programme Mathematical analysis. Recommended for the first year of master studies. Continuation of the course NMMA401. Devoted to advanced topics in functional analysis - spectral theory in Banach algebras, Gelfand transform, spectral theory of bounded and unbounded operators.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Pravidla pro akademický rok 2023/2024:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení dvou domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého příkladu na cvičení.

V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.

Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení budou upřesněny na webu přednášejícího.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.02.2024)

angličtina

The rules for 2023/2024:

The course is finished by a credit and an exam. Before passing the exam it is necessary to gain the credit.

The credit will be awarded after complete and correct solution of two homeworks and presenting a correct solution of one problem during the classes.

If the submitted solution of a homework is not complete and correct, a correction should be provided. The number of iterations is not a priori limited.

Detailed rules will be specified at the webpage of the lecturer.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.02.2024)

Literatura

čeština

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (01.02.2024)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Poslední úprava: Cúth Marek, doc. Mgr., Ph.D. (03.02.2023)

angličtina

The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam.

Poslední úprava: Cúth Marek, doc. Mgr., Ph.D. (03.02.2023)

Sylabus

čeština

1. Banachovy algebry

Definice, příklady, přidání jednotky, renormace.

Invertovatelné prvky, Neumannova řada

Spektrum a jeho vlastnosti, spektrální poloměr

C*-algebry, hermiteovské a normální prvky

Holomorfní kalkulus

2. Gelfandova transformace

Komplexní homomorfismy a maximální ideály v komutativních Banachových algebrách

Gelfandova transformace a její vlastnosti

Aplikace pro komutativní C*-algebry - Gelfand-Neimarkova věta

Aplikace pro nekomutativní C*-algebry - spojitý funkční kalkulus

3. Operátory na Hilbertově prostoru

Samoadjungované operátory, normální operátory, nezáporné operátory, unitární operátory, projekce

Spojitý a měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru

Polární rozklad, kladná a záporná část

4. Neomezené operátory

Neomezené operátory na Banachových prostorech, uzavřené, hustě definované, spektrum

Neomezené operátory na Hilbertových prostorech, adjungovaný operátor, symetrické a samoadjungované operátory

Cayleyova transformace, indexy defektu

Integrál z neomezené funkce podle spektrální míry

Spektrální rozklad samoadjungovaného operátoru

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

angličtina

1. Banach algebras

Definition, examples, adding a unit, renorming

Invertible elements, Neumann series

Spectrum and its properties, spektral radius

C*-algebra, self-adjoint and normal elements

Holomorphic calkulus

2. Gelfand transform

Complex homomorphisms and maximal ideals in commutative Banach algebras

Gelfand transform and its properties

Applications for commutative C*-algebras - Gelfand-Neimark theorem

Applications for non-commutative C*-algebras - continuous funkction calkulus

3. Operators on a Hilbert space

Self-adjoint operators, normal operators, positive operators, unitary operators, projections

Continuous and measurable calkulus, spectral measure and integral with respect to it, spectral decomposition of a normal operator

Polar decomposition, positive and negative part

4. Unbounded operators

Unbounded operators on Banach spaces, closed operators, densely defined operators, spectrum

Unbounded operators on Hilbert spaces, adjoint operator, symmetric and self-adjoint operators

Cayley transform, deficiency indices

Integral of an unbounded function with respect to a spectral measure

Spectral decomposition of a self-adjoint operator

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

Vstupní požadavky

čeština

Povinný předmět magisterského oboru Matematická analýza navazující na předmět NMMA401. Obsahuje pokročilá témata z funkcionální analýzy. Předpokládají se znalosti základů funkcionální analýzy (v rozsahu předmětů NMMA331 a NMMA401), komplexní analýzy (Cauchyova věta, Cauchyův vzorec) a teorie míry a integrálu.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.02.2024)

angličtina

Continuation of the course NMMA401. Devoted to advanced topics in functional analysis. Expected knowledge includes elements of functional analysis (the content of courses NMMA331 and NMMA401), complex analysis (Cauchy theorem, Cauchy formula) and measure and integration.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.02.2024)