Úvod do parciálních diferenciálních rovnic - NMMA334

• Anglický název: Introduction to Partial Differential Equations
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2021
• Semestr: letní
• E-Kredity: 10
• Rozsah, examinace: letní s.:4/4, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MA; M Bc. OM > Zaměření NUMMOD; M Bc. OM > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Diferenciální rovnice, teorie potenciálu
• Neslučitelnost : {NMMA339 a NMNM338}
• Záměnnost : {NMMA339 a NMNM338}
• Je neslučitelnost pro: NMNM338, NMMA339
• Je záměnnost pro: NMNM338, NNUM001, NMMA339
• Ve slož. prerekvizitě: NMMA349, NMNM349

Anotace

čeština

Úvodní přednáška o parciálních diferenciálních rovnicích pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza a Matematické modelování a numerická analýza

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

angličtina

An introductory course in partial differential equations for bachelor's program in General Mathematics. Recommended for specializations Mathematical Analysis and Mathematical Modelling and Numerical Analysis.

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zápočet bude udělen za úspěšné napsání písemného testu. Zápočtový test je možno dvakrát opakovat.

Získání zápočtu není nutné k účasti na zkoušce.

Zkoušky a zápočtové testy se mohou z části nebo zcela konat distanční formou.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (23.02.2021)

angličtina

Credit for the exercise is granted for passing a written test.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (18.02.2021)

Literatura

čeština

Základní studijní literatura a studijní pomůcky

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 2010

K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005

J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004

A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2008.

Doporučená studijní literatura a studijní pomůcky

O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972

M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, l98l

S. J. Farlow: PDE for Scientists and Engineers, Dover, 1993

F. Sauvigny: Partial Differential Equations 1, Foundations and Integral Representations, Springer, 2006

Poslední úprava: T_KMA (27.09.2012)

angličtina

Basic Literature

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 2010

K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005

J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004

A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2008.

Recommended Literature

O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972

M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, l98l

S. J. Farlow: PDE for Scientists and Engineers, Dover, 1993

F. Sauvigny: Partial Differential Equations 1, Foundations and Integral Representations, Springer,2006

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (31.10.2019)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní. Zkoušena bude teorie včetně důkazů v rozsahu vyložené látky.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (18.02.2021)

angličtina

The exam is oral and corresponds to the material treated during the lectures.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (18.02.2021)

Sylabus

čeština

Základní příklady PDR a jejich numerického řešení metodou konečných diferencí. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu, transportní rovnice, charakteristiky.

Von Neumannova analýza stability numerických schémat pro Cauchyovy úlohy, Numerické řešení transportní rovnice: CFL podmínka, upwinding, princip maxima, chyba diskretizace a chyba aproximace, disipace a disperze.

Reálné analytické funkce, věta Cauchyova-Kowalevské, charakteristické plochy, klasifikace semilineárních rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar.

Rovnice vedení tepla (fundamentální řešení, Cauchyova úloha, úloha na omezené oblasti), vlnová rovnice (fundamentální řešení, Cauchyova úloha, energetické metody).

Numerické řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla: schémata explicitní a implicitní, theta-schéma, Fourierova analýza chyby, princip maxima a konvergence.

Eliptické rovnice 2. řádu: fundamentální řešení Laplaceovy rovnice, věta o třech potenciálech, Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici, věty o střední hodnotě, principy maxima.

Numerické řešení eliptických rovnic 2. řádu: aproximace obecné rovnice difúze, odvození schémat v neregulárních uzlech, princip maxima a konvergence.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (30.04.2020)

angličtina

Basic examples of PDE's and their numerical solution by the finite difference method. Cauchy problem for a quasilinear PDE of the first order, transport equation, characteristics.

Von Neumann stability analysis of numerical schemes for Cauchy problems. Numerical solution of transport equation: CFL condition, upwinding, maximum principle, truncation error and approximation error, dissipation and dispersion.

Real analytic functions, Cauchy-Kowalevska Theorem, characteristic surfaces, classification of semilinear PDE's of the second order, transformation to canonical form.

Heat equation (fundamental solution, Cauchy problem, problem in bounded domain), wave equation (fundamental solution, Cauchy problem, energy methods).

Numerical solution of the mixed problem for heat equation: implicit and explicit schemes, theta-scheme, Fourier error analysis, maximum principle and convergence.

Relation between consistence, convergence and stability: general scheme for equations of the first order in time, Lax equivalence theorem.

Elliptic equations of the second order: fundamental solution of Laplace equation, Green's representation formula, Dirichlet problem for Laplace equation, mean value theorems, maximum principles.

Numerical solution of elliptic equations of the second order: approximation of general diffusion equation, derivation of schemes in irregular nodes, maximum principle and convergence.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (16.06.2015)

Vstupní požadavky

čeština

Předpokládá se znalost matematické analýzy na úrovni povinných přednášek doporučených pro první dvouletí bakalářského studijního oboru Obecná matematika.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (15.05.2018)

angličtina

Knowledge of mathematical analysis on the level of obligatory courses recommended for the first two years of the study branch General Mathematics is expected.

Poslední úprava: Knobloch Petr, prof. Mgr., Dr., DSc. (15.05.2018)