|
|
|
||
|
Úvodní kurs analýzy v komplexním oboru. Povinný předmět pro bakalářské obory OM.
Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (30.01.2025)
|
|
||
|
Úvod do komplexní analýzy. Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
|
|
||
|
Pravidla pro letní semestr 2024/2025:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Zápočet je nutné získat před přihlášením se ke zkoušce. Zápočet bude udělen za úplné a správné řešení dvou domácích úkolů. Podrobnější informace jsou na webu přednášejícího. Zkouška bude mít písemnou a ústní část. Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (03.02.2025)
|
|
||
|
Základní literatura
Veselý, J.: Komplexní analýza (pro učitele), Karolinum Praha, 2000.
Novák, B.: Analýza v komplexním oboru (skripta), SPN Praha, 1980.
Kopáček, J.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky IV, Matfyzpress 2009. Doplňková literatura. Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha, 1977; přepracované vydání 2003 Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (29.09.2017)
|
|
||
|
Přednáška a cvičení Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
|
|
||
|
Zkouška bude mít písemnou a ústní část. Písemná část bude tvořena příklady početního typu. Ústní část bude zaměřena na věty z přednášky včetně důkazů a na řešení problémů metodami z přednášky a cvičení. Podrobnější informace (včetně seznamu otázek) budou na webu přednášejícího. Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (03.02.2025)
|
|
||
|
1. Úvod
Těleso komplexních čísel, zápisy komplexního čísla, operace
Komplexní funkce reálné proměnné - spojitost, derivace, integrál
Komplexní funkce komplexní proměnné - spojitost, derivace podle komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce - definice a příklady (polynomy, rac. funkce)
2. Mocninné řady a elementární funkce Mocninné řady - poloměr konvergence, kruh konvergence, absolutní a lokálně stejnoměrná konvergence, derivování a integrování člen po členu
Exponenciála, goniometrické a hyperbolické funkce - definice a vlastnosti
Logaritmus a argument - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti,
obecná mocnina - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti
3. Křivkový integrál Křivka, cesta, integrál podél cesty, délka cesty
Vlastnosti integrálu podél cesty, výpočet pomocí primitivní funkce, záměna limity a integrálu, spojitost a derivace podle parametru
Charakterizace oblasti, existence primitivní funkce a integrál podél cesty
Spojitá větev logaritmu holomorfní funkce podél cesty, index bodu vzhledem k cestě a jeho vlastnosti
4. Lokální Cauchyova věta a její aplikace Cauchyova věta pro trojúhelník, hvězdovitá množina a Cauchyova věta pro ni, Cauchyův vzorec pro kruh, Cauchyův vzorec pro vyšší derivace, vyjádření mocninnou řadou, Cauchyovy odhady, Liouvilleova věta, základní věta algebry, násobnost kořenů, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu, Weierstrassova věta o limitě holomorfních funkcí, Morerova věta
5. Izolované singularity, Laurentovy řady, rezidua Rozšíření o nekonečno, Riemannova sféra, stereografická projekce
Izolované singularity - Casoratti-Weierstrassova věta, vlastnosti funkcí v nekonečnu Laurentovy řady - mezikruží konvergence, Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží, vztah k izolovaným singularitám, reziduová věta, metody výpočtu reziduí
Jordanovo lemma
6. Globální Cauchyova věta a Cauchyův vzorec Řetězce, cykly, globální Cauchyova věta a vzorec Poslední úprava: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2017)
|