Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související
analýzu parciálních diferenciálních rovnic v R^n pro jiné než translační
abelovskou grupu R^n. Druhá část přednášky.
Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)
Harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis of partial
differential equations in R^n for other groups than the abelian R^n.
Second part of lecture.
Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)
Cíl předmětu -
Naučit základy nekomutativní harmonické analýzy.
Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)
Teach basics of non-commutative harmonic analysis.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Podmínky zakončení předmětu -
Znalost definic a vět a schopnost je aplikovat v přehledných
situacích. Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zápočet je udělen za
aktivní účast na cvičeních, kde se dokazují snadná tvrzení nebo
počítají příklady. Zápočet není podmínkou pro získání zkoušky.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Knowledge of definitions and theorems, and the ability of their application.
The exam is oral with a written preparation.
Credit is given for active participation: proving easy theorems or elaborating of computational examples.
Credit is not necessary for entering the exam.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Literatura -
Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS
Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford
Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton
Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS
Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford
Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton
Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Metody výuky -
Přednáška a cvičení (i s několika dom. úkoly).
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Lecture and credentials (with some thematical "homework's").
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
Požadavky ke zkoušce -
Zkouší se definice a věty a jejich aplikace v přehledných situacích. Zkouška je ústní s písemnou přípravou.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
We test definitions and theorems and its application in clearly arranged situations.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)
Sylabus -
1) Univerzální obalující algebra Lieovy algebry.
Věta Poincarého--Birkhoffa--Witta. Filtrace a gradace algeber. Noetherovskost univerzálních obalujících algeber.
2) Vermovy moduly.
2.a) (Stručné) opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber: Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, kokořeny, pozitivní a jednoduché kořeny. Weylova grupa. Váhy reprezentací a jejich polomříž (diskrétní pologrupa) a nejvyšší váha.
2.b) Vermovy moduly - definice, diagonalizovatelnost vůči Cartanově podalgebře, podmínky pro ireducibilitu. Ireducibilní konečně rozměrné Reprezentace jako kvocienty Vermovych modulu. (Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě.)
3) Věta (Botta--)Borela--Weila (a popis řešení kanonické rovnice Lplaceova typu na homogenních prostorech pro jednoduché nebo polojednduché Lieovy grupy). Lokálně triviální fíbrace - vektorové, hlavní a asociované. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety: borelovská a kompaktní prezentace. Jejich příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Opakování některých výsledků strukturní teorie jednoduchých Lieových algeber. (Holomorfní sekce asociovaných bandlů nad komplexními lajkovými varietami.) Formulace (Bottovy--)Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1, tj. sféry.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
1) Univerzální obalující algebra Lieovy algebry.
Věta Poincarého--Birkhoffa--Witta. Filtrace a gradace algeber. Noetherovskost univerzálních obalujících algeber.
2) Vermovy moduly.
2.a) (Stručné) opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber: Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, kokořeny, pozitivní a jednoduché kořeny. Weylova grupa. Váhy reprezentací a jejich polomříž (diskrétní pologrupa) a nejvyšší váha.
2.b) Vermovy moduly - definice, diagonalizovatelnost vůči Cartanově podalgebře, podmínky pro ireducibilitu. Ireducibilní konečně rozměrné Reprezentace jako kvocienty Vermovych modulu. (Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě.)
3) Věta (Botta--)Borela--Weila (a popis řešení kanonické rovnice Lplaceova typu na homogenních prostorech pro jednoduché nebo polojednduché Lieovy grupy). Lokálně triviální fíbrace - vektorové, hlavní a asociované. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety: borelovská a kompaktní prezentace. Jejich příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Opakování některých výsledků strukturní teorie jednoduchých Lieových algeber. (Holomorfní sekce asociovaných bandlů nad komplexními lajkovými varietami.) Formulace (Bottovy--)Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1, tj. sféry.
1) Universal enveloping algebra of a Lie algebra.
Theorem of Poincaré--Birkhoff--Witt. Filtration, associated gradation, noether property of universal enveloping algebras
2) Verma modules.
a) Recall of representation theory of simple Lie algebras: Cartan subalgebra, roots, co-roots, positive and simple roots, fundamental weights. Weyl group, weights of representations of semi-simple Lie groups, semi-lattice (discrete semigroup) of non-negative integral weights; highest weight.
b) Verma modules: definition, weight/simplicity property, irreducibility characterization. Description of irreducible and finite-dimensional simple Lie algebra modules. (Citation of Bernstein--Gelfand--Gelfand theorem on a connection of homomorphisms of Verma modules and Bruhat ordering.)
3) Theorem of (Bott--)Borel--Weil (alo solutions of "Laplace canonical" equation on complex flag manifolds).
Locally trivial smooth fibrations: vector, principal and associated fibrations. Holomorphic manifolds and fibrations. Flag manifolds: Borel and compact presentation of flag manifolds - spheres, projective spaces, Grassmannians, especially Gr_2(4, C). Some results of the structure of semi-simple Lie groups. Holomorphic sections of associated bundles on flag manifolds. Formulation of the (Bott--)Borel--Weil theorem and its proof for the complex projective line CP^, i.e., the Riemannian sphere.
Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)
