Principy harmonické analýzy - NMAG533

• Anglický název: Principles of Harmonic Analysis
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra, Geometrie, Reálná a komplexní analýza

Anotace

čeština

Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic pro jiné grupy než translační a abelovskou grupu R^n. První část přednášky.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

angličtina

General harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis and the correspondiong analysis of partial differential equations for other groups than the translational R^n. First part of the lecture.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Cíl předmětu

čeština

Naučit základy harmonické analýzy na lokálně kompaktních grupách, zejména Fourierovu transformaci na těchto grupách a její zobecnění,

tzv. Galfand--Naimarkovu transformaci (v rámci Banachových *-algeber).

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)

angličtina

Teach basics of harmonic analysis, mostly the Fourier transform on locally compact groups and its generalization to Banach *-algebras, the so clled Gelfand--Naimark transform.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Získání zápočtu a složení zkoušky, která je ústní s písemnou přípravou. Zápočet je udělen v případě aktivní účasti

na cvičeních: výpočty v laviích a jejich prezentace a vypracovaní domácí úlohy. Možne pracovat ve skupinách.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2025)

angličtina

Credit and exam, which is oral with a written preparation. Credit is given by an active presence at exercises (computing at the black-board) or by computing at most 10 exercises at home.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (12.07.2024)

Literatura

čeština

Deitmar, A., Echterhoff, S., Principles of harmonic analysis

Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989

Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (02.06.2024)

Metody výuky

čeština

Přednáška a cvičení.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (13.05.2015)

angličtina

Lecture and exercise.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (13.05.2015)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Znalost definic a vět a schopnost je aplikovat v přehledných situacích.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (28.07.2024)

angličtina

We test the knowledge of definitions, theorems and their application.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (11.05.2015)

Sylabus

čeština

1) Úvod a motivace

Proč je Fourierova transformace zajímavá a užitečná? "Podobnost" Fourierových koeficientů a Fourierovy transformace. Rovnice vedení tepla na R^n (pro různé prostory funkcí). Příklad: Výpočet Fourierovy transformace Gaussovy funkce (vlnového balíku) pomocí Cauchyovy reziduové věty - vhodně normovaná Gaussova fce je pevným bodem Four. transformace.

2) Opakování topologie a teorie míry

Lokální kompaktnost, Tychonovova věta o součinu kompaktních prostorů (a Alexandrovova kompaktifikace). Lebesgueova, diskrétní, kokonečná, kospočetná, Borelova (existence a jednoznačnost) a Radonova míra.

3) Lokálně kompaktní grupy

Definice a příklady. Haarova míra na lokálně kompaktních grupách (existence s důkazem - Weil, jedn. byť snazší jen náznak). Modulární faktor lokálně kompaktní grupy. P-adické grupy (definice a základní vlastnosti).

4) Základy teorie reprezentací topologických grup

Definice reprezentace topologické grupy - silná operátorová topologie, ireducibilita, nerozložitelnost. Schurovo lemma (o splétajících/ekvivariantních zobrazeních). Grupa charakterů a konečně rozměrné reprezentace komutativnich grup: explicitně pro R, Z a S^1. Fourierova transformace pro lokálně kompaktní topologické grupy.

5) Základy Banachových, Banachových *- a C*-algeber

Definice a příklady: C(X), B(H), D - algebra disku. Spektrum a jeho kompaktnost (základy holomorfních fcí s hodn. v C*-algebrách), Gelfandova--Mazurova věta. Věta o Gelfandově transformaci, Stonova--Weierstrassova (bez důkazu) a Gelfandova--Naimarkova věta. (Souvislost s kvantovacím zobrazením. Informace o tzv. GNS-konstrukci.)

6) L^1(G) pro lokálně kompaktní grupu G

Grupová algebra konečné grupy. L^1(G) jako Banachova *-algebra. Fourierova transformace na L^1(G). Fourierova transformace je homomorfizmus semigrup (L^1(G), \asterix) a (L^1(G), .).

( 7) Pontrjaginova dualita pro lokálně kompaktní komutativní grupy

Formulace a některe body důkazu. Poissonova sumační formule. Příklady: klasický Poissonův sumační vzorec pro G = R, H = Z a G/H = S^1 - kružnice.)

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.09.2025)

angličtina

1) Introduction

Heat equation (for different function spaces), Fourier transform and Fourier series, Fourier transform of the Gaussian function by Cauchy theorem

2) Recall of definitions and theorems in topology and measure theory

Final and initial topology, local compactness, Alexandrov compactification, Tychonov theorem on products of compact sets, Banach--Alaoglu theorem.

Borel and Radon measures

4) Basics on Banach-* and C*-algebras

Spectrum, resolvent, theorem of Gelfand and Mazur, examples: C(X), B(H), D (disc algebra), theorem on the Gelfand transform and theorems of Stone-Weierstrass (without proof) and Gelfand--Naimark

5) Locally compact groups

Definition and examples, Haar measure for locally compact groups (existence with proof), modular factors, p-adic groups

6) Basics on representation theory of (topological) groups

Schur lemma (on intertwining-equivariant maps), representations of commutative groups, characters of groups

7) L^1(G)

L^1(G) is a Banach *-algebra.

Group algebra of a finite group, Fourier transform on locally compact groups, Fourier transform is homomorphism of the semigroups (L^1(G),*) and (L^1(G),.)

8) Characters

Characters of Z, S^1, R^n. Characters as a locally compact group, Plancherel measure and theorem (without proof)

9) Pontryagin duality (partial proof)

10) Application

Poisson summation formula on R^n (or locally compact commutative groups) and transformation rules for theta-functions.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (12.07.2024)