Výběrová přednáška z geometrie 2 - NMAG497 (Poissonova geometrie a metody kvantování)

• Anglický název: Poisson geometry and methods of quantization
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Poznámka: předmět lze zapsat opakovaně
• Garant: Thomas Weber, Ph.D.
• Vyučující: Thomas Weber, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie

Anotace

čeština

Budeme se zabývat diferenciálně geometrickými aspekty symplektické a Poissonovy geometrie. Zavedeme hamiltonovská vektorová pole, Marsden-Weinsteinovu redukci a Poissonovu kohomologii. Mezi hlavní cíle kurzu patří Fedosovova konstrukce symplektických star-součinů, která vede k definici deformačního kvantování, jež lze studovat na libovolné symplektické varietě.

Poslední úprava: Fatková Tereza, Ing. (02.01.2026)

angličtina

We discuss the differential geometric concepts of symplectic and Poisson geometry, where smooth manifolds are enhanced with symplectic forms and Poisson bivectors. The emerging notions of Hamiltonian vector field, Marsden—Weinstein reduction and Poisson cohomology are considered. One of the main goals of the course is to investigate the Fedosov construction of symplectic star products. The latter is a deformation quantization, which can be applied to an arbitrary symplectic manifold.

Poslední úprava: Fatková Tereza, Ing. (02.01.2026)

Cíl předmětu

After reviewing the basics of differential geometry, smooth manifolds, vector bundles, Cartan calculus, we discuss symplectic and Poisson manifolds. These are manifolds together with a (nondegenerate) Poisson bivector and this additional structure allows us to consider Poisson cohomology, Hamiltonian and Poisson vector fields. From a physical point of view, symplectic manifolds admit an interpretation in the context of Hamiltonian mechanics. We further describe a phase space reduction in terms of Marsden-Weinstein reduction and discuss a Lie algebroid interpretation of Poisson manifolds. In the second half of the course, we study deformation quantization, particularly of symplectic manifolds. The goal is to give a full proof of the celebrated Fedosov construction of star products for arbitrary symplectic manifolds.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (31.01.2026)

Podmínky zakončení předmětu

The final exam consists of a seminar talk of about 45 minutes, presented by the participant. For this, a number of possible seminar topics will be given at the end of the course. The material will be based on the content of the course and is meant to extend the discussed material. For interested students there might be the possibility to continue the course project in form of a master thesis.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (02.02.2025)

Literatura

Symplectic geometry:

E. Meinrenken: Symplectic Geometry, lecture notes, University of Toronto, 2000.

S. Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer, 2007.

Poisson geometry:

C. Esposito: Formality Theory: From Poisson structures to Deformation Quantization, Springer, 2015.

A. Cannas da Silva, A. Weinstein: Geometric Models for Noncommutative Algebras, Berkeley Mathematics Lecture Notes. AMS, 1999.

Fedosov quantization:

J. Schnitzer: Poisson Geometry and Deformation Quantization, lecture notes, 2023.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (31.01.2026)

Metody výuky

Blackboard class with seminars at the end of the course.

The course will also be streamed via Teams. Recordings, as well as lecture notes, will be made available on Teams and via email.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (02.02.2025)

Sylabus

1) Smooth manifolds

2) Vector bundles and the Cartan calculus

3) Symplectic geometry

4) Marsden-Weinstein reduction

5) Poisson geometry

6) Poisson cohomology and Lie algebroids

7) Deformation quantization

8) Fedosov quantization

This schedule is preliminary.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (31.01.2026)