Úvod do monoidálních a tenzorových kategorií - NMAG479

• Anglický název: An Introduction to Monoidal and Tensor Categories
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: Dr. Re O'Buachalla, Dr.
• Vyučující: Dr. Re O'Buachalla, Dr.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Matematika, Topologie a kategorie
• Je záměnnost pro: NMAG471

Anotace

čeština

Úvod do monoidálních a tenzorových kategorií a jejich aplikací v moderní matematice. Po zopakování základů teorie kategorií se budeme věnovat teorii abelovských kategorií, moniodálních kategorií, rigidních monoidálních kategorií, tenzorových kategorií a modulových kategorií. Rozvineme také duální teorii koalgeber, bialgeber, Hopfových algeber a kvantových grup, s důrazem na jejich kategoriální struktury.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

angličtina

Introduction to monoidal and tensor categories and their applications in modern mathematics. Beginning with a review of basic category theory, we then explore the theory of abelian categories, monoidal categories, rigid monoidal categories, tensor categories, and module categories. Moreover, we develop the dual theory of coalgebras, bialgebras, Hopf algebras, and quantum groups, with a strong emphasis on their categorical structures.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Ústní zkouška.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

angličtina

Oral exam.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

Literatura

čeština

1) T. Leinster: Basic Category Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143, Cam-

bridge University Press, 2014. Available at arXiv:1612.09375.

2) S. MacLane: Categories for the Working Mathematician, Springer Verlag, Berlin, 1971

3) J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Abstract and Concrete Categories , John Wiley, New

York, 1990

4) Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, Victor Ostrik, Tensor Categories, AMS Mathematical Surveys and Monographs 205 (2015). ISBN: 978-1-4704-3441-0.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

Sylabus

čeština

Opakování: Kategorie, funktory, kategorie funktorů, adjunkce, (ko)limity, abelovské kategorie

Monoidální kategorie: Definice a základní výsledky, monoidální funktory, MacLaneovy věty, rigidní objekty

Tenzorové/multitenzorové kategorie: Jednotkové objekty, Grothendieckovy okruhy, fíbrové funktory.

Koalgebry, bialgebry, Hopfovy algebry; kvantové grupy, tenzorové kategorie s nulovým objektem.

Kvazi-(bi)algebry, kvazi-Hopfovy algebry, kvantové stopy; pivotální and sférické kategorie.

Základy modulových kategorií: modulové kategorie, exaktní modulové kategorie, algebry v kategoriích, vnitřní homomorfismy, kategorie modulových funktorů, duální kategorie.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)

angličtina

Review: Categories, functors, functor categories, adjunctions, (co)limits, abelian categories.

Monoidal categories: Definition and basic results, monoidal functors, MacLane’s theorems, rigid objects.

Tensor/multitensor categories: Unit objects, Grothendieck rings, fiber functors.

Coalgebras, bialgebras, Hopf algebras; quantum groups, pointed tensor categories.

Quasi-(bi)algebras, quasi-Hopf algebras, quantum traces; pivotal and spherical categories.

Basics of Module categories: definitions and basic results of module categories, exact module categories, algebras in categories, internal homs, categories of module functors, dual categories.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2025)