Kvadratické formy a třídová tělesa I - NMAG455

• Anglický název: Quadratic forms and class fields I
• Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://sites.google.com/view/shman/quadratic-forms-and-class-fields-i-winter-2223
• Garant: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Vyučující: Pavlo Yatsyna, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra

Anotace

čeština

Kvadratické formy s celočíselnými koeficienty tvoří centrální část teorie čísel - například studium toho, která prvočísla jdou vyjádřit ve tvaru x^2+ny^2, vedlo postupně k rozvoji řady klíčových nástrojů algebraické teorie čísel, od studia číselných těles až po teorii třídových těles a modulárních forem. Cílem přednášky je vyložit základy aritmetické teorie kvadratických forem, zejména s ohledem na otázky týkající se reprezentace celých čísel včetně využití teorie třídových těles. Předmět nemusí být vyučován každý rok, je vyučován alespoň jednou za dva roky.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2019)

angličtina

Quadratic forms with integral coefficients form a central part of number theory - for example, the study of primes represented by the form x^2+ny^2 gradually led to the development of many key tools in algebraic number theory, ranging from the study of number fields to the theory of class fields and modular forms. The goal of the course is to explain the basics of the arithmetic theory of quadratic forms, in particular with focus on the question of representability of integers including applications of class field theory. The course may not be taught every academic year.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2019)

Podmínky zakončení předmětu

Předmět je zakončen ústní zkouškou.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (10.06.2019)

Literatura

čeština

Leonard Eugene Dickson, Modern Elementary Theory of Numbers, Chicago, 1939.

David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989.

Manjul Bhargava, On the Conway-Schneeberger fifteen theorem, Contemp. Math. 272, 27 - 37.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

Požadavky ke zkoušce

Zkouška bude ústní s 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (21.09.2018)

Sylabus

čeština

Základní pojmy: ekvivalence kvadratických forem, determinant, přiřazená matice a mříž, redukce forem

Ternární formy, věta o 3 a 4 čtvercích, univerzální diagonální formy, věta 15

Binární formy: skládání a grupa tříd forem, teorie rodů

Izomorfismus grup tříd forem a ideálů

Hilbertovo třídové těleso a prvočísla tvaru x^2+ny^2

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

angličtina

Basic notions: equivalence of quadratic forms, determinant, associated matrix and lattice, reduction of forms

Ternary forms, 3- and 4-square theorems, universal diagonal forms, 15 theorem

Binary forms: composition and form class group, genus theory

Isomorphism of ideal and form class groups

Hilbert class field and primes of the form x^2+ny^2

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)