PředmětyPředměty(verze: 964)
Předmět, akademický rok 2024/2025
   Přihlásit přes CAS
Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky - NMAF038
Anglický název: Advanced Course of Group Theory for Physicists
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2023
Semestr: letní
E-Kredity: 4
Rozsah, examinace: letní s.:2/1, Z+Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
4EU+: ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
Kompetence: critical thinking
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
Vyučující: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky, Teoretická a matematická fyzika
Anotace -
Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky. Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
Cíl předmětu -

Naučit základy Lieových grup a jejich reprezentací. Jako vedlejší produkt se studentům fyziky ukáže, jak matematičtí fyzici jejich pojmy "překládají" do matematiky a studenti matematiky mohou získat základní povědomí o metodách fyziky, které používají symetrie.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (14.02.2024)
Podmínky zakončení předmětu -

Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zkouší se porozumění probrané látce (definice, věty a důkazy) i schopnost aplikace vět ve specifických případech a výjimečně důkazy jednoduchých důsledků probíraných vět. Studentům fyziky je možné pomoci prostřednictvím fyzikální formulace, příkladu nebo analogie. Student matematiky, pokud si to nepřeje, není z fyzikální formulace zkoušen a vety jsou formulovány "čistě" matematicky. Např. namísto 'Uveďte klasifikaci částic ve speciálně relativistické kvant. mechanice', se jí/jeho ptáme na klasifikaci ireducibilních reprezentací Poincarého grupy.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (12.07.2024)
Literatura -

Základní: specifikované části ucelených kapitol, které jsou předmětem přednášky, v závorkách

M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007 (reprezentace komp. grup na Hilbertových prostorech)

S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP (tzv. Wignerova klasifikace částic spec. rel. kvant. mechaniky neboli reprezentace Poincarého grupy)

L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000 (definice, zákl. příklady)

V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004 (systematický/kategorální vhled do problematiky)

A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991 (Legendreovy nebo Besselovy fce 1. druhu)

G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space (důkaz Stonovy--Neumannovy věty)

G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer (reprezentace polopřímých součinů jednoduchých a abelovských lokálně kompaktních grup, kde s důkazy tzv. Mackeyho stroj/machine, Mackeyho věta o malé grupě)

Rozšiřující:

A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer (jiný dk. Stone-Neumannovy věty)

D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.

R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (05.02.2024)
Metody výuky -

Přednáška a cvičení na základě dostupné literatury.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (01.06.2020)
Požadavky ke zkoušce -

Zkouší se definice, věty a jejich důkazy v rozsahu, jak byly prezentovány na přednášce, aplikace výše uvedeného ve specifických případech a důkazy důsledků probíraných vět.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (01.06.2020)
Sylabus -

1. Úvod: Symetrie jako akce grupy; homomorfizmy a akce; regularni reprezentace - příklady z geometrie a fyziky.

2. Základy hladkých variet: definice, příklady. Definice Lieovy grupy a příklady Lieových grup:

GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), F = R nebo C, U(n), SU(n), T^n (torus), R^n - použití věty o implicitních funkcích (pro R^n, hladké variety a pro Lieovy grupy).

3. Borelovy a Haarovy míry: Definice a příklady. Grupa symetrií tzv. afinní přímky a její levá a pravá Haarova míra, GL(n,R) a její oboustranná Haarova míra. Weilova věta o Haarově míře (bez důkazu, event. důkaz pro Lieovy grupy). Haarova míra pro kompaktní grupu a abelovskou grupu je levá i pravá - modul8rn9 faktor.

4. Reprezentace Lieových grup: podreprezentece, ireducibilita, unitarizovatelnost a uplná rozložitelnost pro reprezentace kompaktních grup na Hilbertových prostorech.

Asociované reprezentace: restrikce reprezentace, (Hilbertův) součet a zúplněný tenzorový součin reprezentací. Schurovo lemma o ekvivariantních zobrazeních a reprezentace komutativních grup - oboje na konečně rozměrných prostorech.

5. Reprezentace grupy U(1) (= kružnice S^1 = unitární grupa v jedné dimenzi), pomoci Cauchyovy funkcionální rovnice f(x + y) = f(x) + f(y) na R); celých čisel Z a realných čísel R (popř. R^n). Důkaz netopologická verze Pontrjaginovy duality pro S^1, Z a R - souvislost Fourierových koeficentů a Fourierovy transformace.

6. Reprezentace kompaktních Lieových grup: konečná rozměrnost ireducibilních reprezentací, Peterova--Weylova věta (bez dk) pro konečně rozměrné reprezentace.

Příklady: S^1, Z, R^n, C_n (cyklické), S_3, S_4 (permutační).

(7. Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).)

8. Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - souvislé dvojité nakrytí SO(3); a grupy O(n) - harmonické polynomy.

(9. Speciální funkce: zejména Besselovy fce 1. druhu a Legendreovy funkce, systematické pojetí: speciální funkce jako tzv. maticové koeficienty reprezentací.)

10. Super-vektorové prostory, super-algebry, Lieovy super-algebry. Příklady: Grassmannova algbera, gl(m|n), osp(m|n).

(Stručný přehled Kacovy klasifikace jednoduchých Lieových super-algeber.)

11. Reprezentace Heisenbergovy grupy: Stoneova--Neumannova věta (bez dk.), Schrödingerova reprezentace. Kanonické kvantovací relace jako derivace Schrödingerovy reprezentace. (Eventuálně Segalova--Shaleova--Weilova reprezentace.)

12. Reprezentace polopřímých součinů abelovskych grup s grupami jednoduchými, Mackeyova věta o "malé grupě", bez důkazu. Aplikace této věty na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a reprezentace Poincarého grupy, tj. polopřímého součinu "indefinitní ortogonální grupy" a translační R^4 (Wignerova klasifikace ireducibilních reprezentací Poincarého grupy, tj. speciálně retivistických symetrií prázdného prostoru, a tak i klasifikace částic v rámci speciálně relativistické kvantové mechaniky).

Témata se mohou přizpůsobit zanlostem a zájmu posluchačů.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (26.01.2025)
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK