|
|
|
||
Poslední úprava: T_MUUK (09.05.2013)
|
|
||
Poslední úprava: ()
Minimální sylabus:.
1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské souči-ny variet).
2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet;.
tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám);.
tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.
3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru;.
vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení;.
symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorové-ho prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.
4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně.
algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety;.
vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma;.
přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.
5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.
6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.
7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.
Pokud možno:.
8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu. |