Parciální diferenciální rovnice I - NDIR044

• Anglický název: Partial Differential Equations I
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2022
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: DS, matematické a počítačové modelování
• Kategorizace předmětu: Matematika > Diferenciální rovnice, teorie potenciálu
• Ve slož. prerekvizitě: NMMA349, NMNM349

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

Klasická řešení okrajových a počátečních úloh pro parciální diferenciální rovnice. Eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice 2. řádu.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

Classical solvability of boundary and initial value problems for partial differential equations. Elliptic, parabolic and hyperbolic equations of the second order.

Literatura

čeština

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999

M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999

M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993

O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972 (in Czech)

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

I. Parciální diferenciální rovnice 1. řádu a jejich vztah k soustavám obyčejných diferenciálních rovnic. Fundamentální systém řešení. Cauchyova úloha pro transportní a Burgersovu rovnici - příklady neexistence globálního klasického řešení.

II. Věta Cauchyova - Kovalevské. Rovnice vyššího řádu. Pojem charakteristického směru, bodu a plochy pro lineární rovnice. Klasifikace rovnic druhého řádu.

III. Klasická řešení základních typů rovnic druhého řádu.

a) Laplaceova a Poissonova rovnice. Fundamentální řešení, věta o třech potenciálech. Poissonův integrál. Věta o průměru a obrácená věta o průměru, silný princip maxima. Liouvilleova věta, analytičnost řešení, věta o odstranitelné singularitě, Harnackovy věty. Jednoznačnost řešení pro vnitřní a vnější Dirichletovu úlohu. Existence klasického řešení Dirichletovy úlohy.

b) Rovnice vedení tepla. Fundamentální řešení. Poissonův vzorec pro klasické řešení Cauchyovy úlohy pro homogenní i nehomogenní rovnici vedení tepla. Duhamelův princip. Věty o jednoznačnosti, principy maxima pro Cauchyovu a Dirichletovu okrajovou úlohu pro rovnici vedení tepla.

c) Vlnová rovnice. Věta o jednoznačnosti, fundamentální řešení vlnové rovnice. Klasické řešení Cauchyovy úlohy, D'Alembertova, Poissonova a Kirchhoffova formule. Duhamelův princip.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)

I. PDEs of first order and their connection with the systems of ODEs. Fundamental systems of solutions. Cauchy problem for transport and Burgers' equations - examples of the non-existence of a global classical solution.

II. Theorem of Cauchy-Kowalevskaya. Higher order partial differential equations. Characteristics. Classification of PDEs of the second order.

III. Classical solutions of the basic types of PDEs

a) Laplace and Poisson equations. Fundamental solutions, Green representation formula. Poisson's formula. Properties of harmonic functions: Mean-value formula, strong maximum principle, Liouville's theorem, analyticity, theorem on removable singularity, Harnack's theorems, Uniqueness of the solution for external Dirichlet problem. Existence of a classical solution to Dirichlet problem.

b) Heat equation. Fundamental solution. Poisson formula for the classical solution of Cauchy problem. Duhamel's principle. Maximum principles the initial-boundary value problem and for Cauchy problem. Uniqueness results. Energy inequalities.

c) Wave equation. Uniqueness result. Fundamental solutions. Classical solution of Cauchy problem, D'Alembert, Poisson and Kirchhoff formula. Duhamel principle.