|
|
|
||
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.12.2018)
|
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Studentovi/studentce je zadán jeden z šesti zkouškových okruhů, s tím, že může být požadováno podrobnější rozpracování některé položky. |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Základní literaturou jsou skripta přednášejícího v angličtině, která budou průběžně zveřejňována.
Standardní zdroje k tématu jsou:
V. D. Belousov: Osnovy teorii kvazigrupp i lup, Nauka, Moskva, 1967
H. O. Pflugfelder: Quasigroups and Loops: An Introduction, Heldermann Verlag, 1991
D. Keedwell and József Dénes: Latin Squares and their Applications, 2nd Edition, North Holland, 2015
M. Hall, Jr.: Theory of Groups, MacMillan Co., 1959
D. R. Hughes a F. C. Piper: Projective planes, Springer Verlag, 1973 |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
1. Volná kvazigrupa. Redukovaná slova a přepisující pravidla. Kongruence kvazigrup a lup. Souvislost s bloky multiplikační grupy. Grupa vnitřních zobrazení a její význam pro normalitu podlupy. Standardní generátory.
2. Semisymetrie, MTS, STS, jejich interpretace z hlediska shody parastrofií. Projektivní a afinní STS. Prolongace a STS lupy. HTS a jejich charakterizace přes distributivitu a komutativní moufangovské lupy. Struktura komutativních moufangovských lup.
3. Nuklea lupy. Charakterizace přes autotopismy. Důkaz, že jde o podlupy. Definice centra lupy. Souvislost s grupou vnitřních zobrazení. Popis centra multiplikační grupy lupy. Jeho vztah s normalizátorem grupy vnitřních zobrazení. Normalita nuklea jako důsledek normality levé či pravé multiplikační grupy. Shoda a normalita nukleí v bolovských a moufangovských lupách.
4. Definice afinní a projektivní roviny, k-sítí a transversálních designů. Přechod mezi afinní a projektivní rovinou. Podmínky definující afinní rovinu pomocí aditivní grupy a multiplikativní lupy. olineace a definice kvazitělesa. Polotělesa a skorotělesa. Dicksonovo skorotěleso. Souvislost konečných skorotěles a ostře 2-tranzitivních permutačních grup.
5. Odvození bolovských identit cestou levé a pravé inverzní vlastnosti. Popis přes skruty translací. Odvození a ekvivalence moufangovských identit. Extra lupy a jejich popis jako moufangovských lup s čtverci v nukleu. Idea konstrukce lupy oktoniónů přes Fanovu rovinu a důkaz jednoznačnosti takové lupy.
6. Pseudoautomorfismy a jejich aplikace v moufangovských lupách. Vlastnosti asociátorů a komutátorů v moufangovských lupách stupně nilpotence dva. Kvadratické formy a konstrukce oktoniónů. Kódové lupy (v rozsahu, jaký bude probrán). |
|
||
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Isotopie lup a kvazigrup a jejich intepretace latinskými čtverci. Významné algebraické variety lup a kvazigrup. Příklady konstrukce. Souvislosti s projektivními rovinami. Kvazitělesa, skorotělesa a polotělesa. Souvislosti s teorií grup a s kryptografií.
Podrobnější představu lze získat z požadavků ke zkoušce. |