The one term course is focused on the basic notions of mathematical analysis: the limit of an infinite sequence and the convergence of an infinite series. The historical context and the connections with other branches of mathematics will be considered. The students will be presented the basic methods of proofs as well as the typical patterns of argumentation, which they will use in other branches of mathematical analysis.
Last update: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. (28.09.2017)
Přednáška je zaměřena na základy matematické analýzy, hlavně teorii (definice, věty a důkazy) limit a spojitosti a na koncepty, které jsou k jejich zavedení potřebné, jako jsou základní topologické pojmy. Cvičení jsou věnována převážně limitnímu počtu.
Aim of the course -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (04.06.2010)
The aim of the subject is the introduction of the basic notions of mathematical analysis (the limit of a sequence, convergence of a infinite series) together with study of the historical connections and search for connections to other mathematical disciplines and use in computers and appropriate mathematical software.
Last update: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. (28.09.2017)
Cílem předmětu je teoretické i praktické osvojení konceptů limity a spojitosti a základních metod matematické analýzy.
Literature -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (04.06.2010)
§ Jarník, V.: Diferenciální počet I, II. Praha: Academia 1984.
§ Jarník, J.: Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979.
§ Kubínová, M. - Novotná, J.: Posloupnosti a řady. Matematická analýza, teoretická aritmetika. [Skriptum.] Praha: Karolinum 1997.
§ Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky (nejen) pro přípravu k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
§ Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, I. a II. díl, Praha: MATFYZPRESS, 2004.
§ Snítal, J. - Šalát, T.: Posloupnosti a řady pro 3. ročník gymnázií se zaměřením na matematiku. Praha, SPN 1986.
§ Děmidovič, B.P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha 2004
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (04.06.2010)
§ Jarník, V.: Diferenciální počet I, II. Praha: Academia 1984.
§ Jarník, J.: Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979.
§ Kubínová, M. - Novotná, J.: Posloupnosti a řady. Matematická analýza, teoretická aritmetika. [Skriptum.] Praha: Karolinum 1997.
§ Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky (nejen) pro přípravu k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
§ Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, I. a II. díl, Praha: MATFYZPRESS, 2004.
§ Snítal, J. - Šalát, T.: Posloupnosti a řady pro 3. ročník gymnázií se zaměřením na matematiku. Praha, SPN 1986.
§ Děmidovič, B.P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha 2004
Teaching methods -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (04.06.2010)
lecture and exercises
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (04.06.2010)
přednáška a cvičení
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (29.10.2019)
The course is taught only in Czech, so the requirements are only in Czech.
Last update: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. (28.09.2017)
Zápočtový test: vyšetřování průběhu posloupnosti, výpočet limit posloupností a funkcí.
Ústní zkouška: definice a základní vlastnosti limit posloupností a funkcí a spojitosti včetně důkazů.
Syllabus -
Last update: PILOUS/PEDF.CUNI.CZ (11.02.2016)
* arithmetical progression,
* limit of a sequence,
* operations with limits of sequences,
* limit of function
* continuous function
Last update: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. (28.09.2017)
1. Posloupnost. Definice, vztah k funkci. Vlastnosti (prostota, omezenost, ohraničenost, monotonie). 2. Vlastnosti platné pro skoro všechna n. Ekvivalentní charakteristika, invarianty. 3. Rozšířená reálná osa. Okolí v R^*. Základní topologické pojmy. 4. Limita posloupnosti. Terminologie (konvergence, vlastní a nevlastní body). Definice pomocí vzdálenosti, definice pomocí uspořádání, definice pomocí okolí, ekvivalentní výběry okolí. Věta o posloupnosti horních a dolních ohraničení skoro všech členů posloupnosti. 5. Základní vlastnosti limity (existence a jednoznačnost, invarianty, omezenost a konvergence, limita a uzávěr množiny, limita a hromadný bod množiny). 6. Aritmetika limit posloupností. Limita konstantní a identické posloupnosti, limita aritmetických operací, limita absolutní hodnoty. 7. Limita geometrické posloupnosti. Limity mocnin. 8. Asymptotické chování posloupností. Podílové a odmocninové kritérium. 9. Monotonie limit posloupností (oběma směry). Věta o dvou policajtech. 10. Limita monotónní posloupnosti. Přerovnatelnost posloupnosti na monotónní. 11. Vybraná posloupnost a její limita, použití. Disjunktní rozklad posloupnosti. 12. Hromadný bod posloupnosti. Ekvivalentní definice. Hromadný bod posloupnosti vs. hromadný bod množiny. Existence hromadného bodu. Vztah k limitě. 13. Limita funkce podle Heineho. Ekvivalentní výběr posloupností. Jednostranné limity a vztah k oboustranné. 14. Jednoznačnost limity funkce. Limita konstantní a identické funkce, limita aritmetických operací, limita absolutní hodnoty. 15. Limita monotónní funkce. 16. Definice limity funkce pomocí okolí. Náležení funkce do libovolného okolí limity, speciální případy. 17. Monotonie limit funkcí. Věta o dvou policajtech. 18. Spojitost. Definice pomocí okolí a pomocí limity. Jednostranná spojitost, spojitost na intervalu. 19. Limita a spojitost složené funkce. 20. Darbouxova vlastnost. Vztah ke spojitosti. Spojitý obraz intervalu. Spojitost inverzní funkce. 21. Spojitost elementárních funkcí. 22. Bolzano-Cauchyho podmínka pro posloupnosti a funkce. Ekvivalence s konvergencí. Definice spojitosti analogií k B.–C. podmínce.