Elements of the set theory. Cardinality of a set, countable and uncountable sets. Cardinal and ordinal numbers, Zermelo's axiom and its consequences. Cantor discontinuum and its properties. Peano's curve.
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Základy teorie množin. Mohutnost množiny, spočetné a nespočetné množiny. Kardinální a ordinální čísla, Zermelův axióm a jeho důsledky. Cantorovo diskontinuum a jeho vlastnosti. Peanova křivka.
Aim of the course -
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
The aim of the course is to refine the intuitive notion of the infinite by means of the Cantorian set theory. We will discuss problems from arithmetics, geometry and calculus which alow a deeper insight into the notion of infinity (Cantor's discontinuum, Peano's curve, etc.)
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Cílem kursu je precizování pojmu nekonečna pomocí Cantorovy teorie množin a práce s nekonečnem; příklady z aritmetiky a geometrie poskytující hlubší vhled do pojmu nekonečna (Cantorovo diskontinuum, Peanova křivka apod.)
Literature -
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Alexandrov, P. S.: Úvod do teorie množin a funkcí
Sierpinski, W.: Cardinal and ordinal numbers
Balcar, B.- Štěpánek, P.: Teorie množin
Bukovský, L.: Množiny a všeličo okolo nich
Rohlíčková, I.: Aritmetika konečných a nekonečných množin
Bečvář, J.a kol.: Seznamujeme se s množinami
Pospíšil, B.: Nekonečno v matematice
Vilenkin, N. J.: Nekonečné množiny
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Alexandrov, P. S.: Úvod do teorie množin a funkcí
Sierpinski, W.: Cardinal and ordinal numbers
Balcar, B.- Štěpánek, P.: Teorie množin
Bukovský, L.: Množiny a všeličo okolo nich
Rohlíčková, I.: Aritmetika konečných a nekonečných množin
Bečvář, J.a kol.: Seznamujeme se s množinami
Pospíšil, B.: Nekonečno v matematice
Vilenkin, N. J.: Nekonečné množiny
Koman, M: Sbírka vybraných úloh ke kurzu teorie množin (Postupně zveřejňovaná)
Teaching methods -
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Lecture and seminar.
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Přednáška a seminář.
Syllabus -
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Antinomies of Cantor's intuitive set theory.
Comparison of sets. Sets of the same cardinality. Finite and infinite sets. Constructive and existential proofs of equivalence of two infinite sets. Cantor's theorem about the cardinality of the power set.
Countable and uncountable sets. Union and Cartesian product of two countable sets, the proof of their countability. The union and Cartesian product of countable many countable sets and the question of their countability. Uncountable sets and sets of the cardinality of continuum. The uncountability of the set of all real numbers. Sets of higher cardinalities.
Cantor's discontinuum. Uncountability of the discontinuum. The equivalence of a square with its side.
cardinal numbers and operations with them. Comparison of the arithmetic of cardinal numbers witrh the arithmetic of finite numbers. Alephs. The continuum hypothesis.
Ordered sets and well ordering. Ordinal numbers and their arithmetic. The non-commutativity of the arithmetic operations with infinite ordinals. Limit ordinals. The princile of transfinite induction.
The axiom of choice, its consequences and its alternatives. The well ordering of any set.
Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (30.10.2008)
Obsah kursu:
Antinomie Cantorovy intuitivní teorie množin.
Porovnávání množin. Ekvivalentní (stejně mohutné) množiny. Konečné a nekonečné množiny. Princip inkluze a exkluze pro konečné množiny a jeho aplikace (Eulerova číselně teoretická funkce). Konstrukční a existenční důkazy ekvivalentnosti dvou nekonečných množin. Množiny různých mohutností. Porovnání mohutnosti množiny A s mohutností její potenční množiny P(A) (Cantorova věta).
Spočetné a nespočetné množiny. Sjednocení a kartézský součin dvou spočetných množin; důkaz jejich spočetnosti. Sjednocení a kartézský součin spočetně mnoha spočetných množin; otázka jejich spočetnosti či nespočetnosti. Nespočetné množiny a množiny mohutnosti kontinua. Nespočetnost množiny reálných čísel R. Nespočetnost množiny všech nekonečných posloupností čísel z N. Množiny mohutnosti kontinua a větší mohutnosti.
Cantorovo diskontinuum (CD). Nespočetnost CD. Ekvivalence CD a množiny reálných čísel R. Ekvivalence úsečky se čtvercem a s krychlí. Využití CD ke konstrukci spojitého zobrazení úsečky na čtverec (Peanova křivka).
Kardinální čísla. Definice. Sčítání, násobení a umocňování kardinálních čísel. Porovnání aritmetiky kardinálních čísel konečných a nekonečných množin. Alefy (?0, ?1, ..). Hypothesa kontinua.
Uspořádání a dobré uspořádání. Definice. Vlastnosti podobných (dobře) uspořádaných množin (obraz prvního a posledního prvku, apod.) Základní věta o dobře uspořádaných množinách. Porovnání dvou dobře uspořádaných množin. Ordinální čísla. Definice a početní operace. Porovnání aritmetiky ordinálních čísel konečných a nekonečných dobře uspořádaných množin. Porovnání s aritmetikou kardinálních čísel. Limitní ordinální čísla. Princip transfinitní indukce.
Zermelův axiom a Zermelova věta. Selektor. Věta o existenci dobrého uspořádání libovolné množiny. Důsledky. Hamelova base, její užití k řešení rovnice). Existence spočetné podmnožiny libovolné nekonečné množiny.
