Subjects

Your browser does not support JavaScript, or its support is disabled. Some features may not be available.

Geometrical Methods of Theoretical Physics II - NTMF060

Title:	Geometrické metody teoretické fyziky II
Guaranteed by:	Institute of Theoretical Physics (32-UTF)
Faculty:	Faculty of Mathematics and Physics
Actual:	from 2023
Semester:	summer
E-Credits:	4
Hours per week, examination:	summer s.:3/0, Ex [HT]
Capacity:	unlimited
Min. number of students:	unlimited
4EU+:	no
Virtual mobility / capacity:	no
State of the course:	taught
Language:	Czech, English
Teaching methods:	full-time
Teaching methods:	full-time
Additional information:	http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF060

Guarantor:	prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.
Comes under:	Doporučené přednášky 1/2

Opinion survey results Examination dates SS schedule Noticeboard

Annotation -

Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (04.02.2021)

Riemann geometry in terms of forms, Hodge theory, topological methods. Lie groups and algebras. Fibre bundles, geometry of gauge fields, characteristic classes. Two-component spinors.

Course completion requirements -

Last update: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (21.04.2023)

Oral exam.

Literature -

Last update: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)

C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
M. Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2011.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.

Requirements to the exam -

Last update: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (21.04.2023)

The oral exam. Students are examined from material in the syllabus and covered in lectures.

Syllabus -

Last update: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)

Hodge theory: Scalar product on forms, Hodge dual, coderivative, de Rham-Laplace and Beltrami-Laplace operators. Hodge decomposition, potential and copotential, harmonics, cohomology.
Topological methods: Cohomology a homology groups, homotopy, fundamental group, homotopy equivalence, homotopy operator, contraction, Poincare lemma.
Riemann geometry in terms of forms: Exterior calculus (overview). Maxwell theory. Othonormal frames, Cartan structure equations, Ricci coefficients. Bianchi identities. Calculation of the curvature, example - Vaidya metric.
Geometry of Lie groups and algebras: Lie groups, construction of Lie algebra, exponential mapping, Killing metric, structure constants. Bi-invariant metric, measure, covariant derivative. Adjoint representations. The action of Lie group on a manifold, flows and their generators. Representations on vector spaces.
Fibre bundles: Abstract fibre bundles. Vector bundles and their geometry, covariant derivative, vector potential and curvature. Objects on the gauge-algebra bundle.
Geometry of gauge fields: Inner degrees of freedom and their description in terms of vector bundles. Gauge symmetry. Gauge group and gauge algebra bundles. Gauge and Yang-Mills fields. The action and field equations. Electromagnetic and charged fields.
Characteristic classes: Invariant symmetric polynomials in curvature, Chern-Weil theorem, characteristic classes, Chern class and character, Pontrjagin class, Euler form, integral quantities.
Two-component spinors: Space of spinors, antisymmetric metric, soldering form. Relation between spinors and vectors. Geometric quantities and physical fields in terms of spinors. Electromagnetic field and curvature.

Last update: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)

Hodgeova teorie: Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Topologické metody: Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem: Vnější kalkulus (přehled). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
Přehled geometrie Lieových grupy a algeber: Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Fibrované prostory: Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formulace kalibračních polí: Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
Charakteristické třídy: Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
Dvoukomponentové spinory: Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky, vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.