|
|
|
||
|
Last update: Mgr. Dina Novotná Obeidová (20.08.2021)
Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce z~matematiky a~didaktiky matematiky
Matematická analýza
Teorie míry a~integrálu Základy teorie míry, Lebesgueova míra, měřitelné funkce. Lebesgueův integrál funkcí jedné a~více proměnných, Fubiniova věta, věta o~substituci, příklady substitucí (polární souřadnice, sférické, válcové souřadnice). Aplikace vícerozměrných integrálů (objemy, obsahy ploch zadaných parametricky, těžiště). Záměna pořadí limity a~integrálu (věta Leviho a~Lebesgueova).
Fourierovy řady Ortonormální systémy, Fourierovy koeficienty, Parsevalova rovnost, Besselova nerovnost; bodová konvergence.
Metrické prostory Metrické prostory, normované lineární prostory, prostory se skalárním součinem. Metrické pojmy: průměr množiny, omezené množiny, vzdálenosti bodů a~množin. Otevřené a~uzavřené množiny, vnitřek, hranice, uzávěr, klasifikace bodů. Limita posloupnosti, cauchyovská posloupnost. Vztah mezi konvergencí, uzávěrem a~hromadnými body. Spojitá zobrazení, nutné a~postačující podmínky pro spojitost. Lipschitzovská zobrazení a~kontrakce. Úplné prostory, Cantorova věta, Banachova věta o~pevném bodu a~její aplikace (výpočet odmocnin, existence a~jednoznačnost řešení ODR).
Pravděpodobnost a~matematická statistika
Kombinatorika Pravidla součinu a~součtu, variace, permutace, kombinace, kombinační čísla a~Pascalův trojúhelník. Princip inkluze a~exkluze, permutace bez pevných bodů. Řešení rekurentních rovnic, generující funkce. Fibonacciho čísla.
Pravděpodobnost Pravděpodobnostní prostor, různé definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost a~nezávislost náhodných jevů. Náhodné veličiny -- základní charakteristiky, nezávislost. Diskrétní a~spojitá rozdělení náhodných veličin. Náhodné vektory. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta.
Matematická statistika Popisná statistika. Korelace, regresní přímka. Odhady parametrů a~testy hypotéz. Lineární model a~jeho speciální případy, lineární regrese.
Algebra
Polynomy a~jejich kořeny Definice polynomu a~polynomiální funkce. Hornerovo schéma, Lagrangeova interpolace. Základní věta algebry a~její důsledky. Derivace polynomu, násobnost kořenů polynomu. Elementární úvod ke Galoisově teorii: Lagrangeova postupná symetrizace na příkladu kubické rovnice (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací), normální řada pro obecnou kubickou a~kvartickou rovnici, věta o~řešitelnosti algebraické rovnice v~radikálech. Hlavní věta o~symetrických polynomech. Diskriminant, vyjádření pomocí determinantů.
Grupy, pole Grupy cyklické a~abelovské -- příklady a~souvislosti. Jednoduché grupy. Eisensteinovo kritérium. Prvopole konečného i~nekonečného pole, struktura konečných polí. Kořenové a~rozkladové pole, příklady; Kroneckerova věta, aplikace při zavedení komplexních čísel.
Geometrie
Konstruovatelnost pravítkem a~kružítkem Eukleidovsky konstruovatelné body a~čísla; zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu, rektifikace kružnice. Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.
Klasifikace geometrií Základní orientace v~tématech: Axiomatizace eukleidovské geometrie, absolutní geometrie, Lobačevského pangeometrie. Neeukleidovské geometrie a~jejich modely. Kleinův Erlangenský program, klasifikace geometrií. Riemannovská klasifikace geometrií, hyperbolické a~eliptické geometrie.
Logika a~teorie množin
Axiomatická teorie množin, ZFC. Množina, třída, Russellův paradox. Konečné, spočetné a~nespočetné množiny. Dobré uspořádání. Kardinální a~ordinální čísla. Axiom výběru a~jeho ekvivalenty (zejména Zornovo lémma). Model přirozených čísel v~teorii množin. Čísla celá, racionální, reálná. Mohutnosti oborů přirozených, celých, racionálních a~reálných čísel. Cantorova věta (potenční množina má větší kardinalitu než množina sama), Cantorova-Bernsteinova věta. Hypotéza kontinua.
Didaktika matematiky
Student prokáže znalost cílů a~obsahu matematického vzdělávání na střední škole a~druhém stupni základní školy. Je schopen transformovat znalosti z~matematiky získané na vysoké škole do roviny školské matematiky. Vysvětlí souvislosti mezi partiemi probíranými na základní škole a~na škole střední.
Student dokáže aplikovat metody vhodné pro výuku školské matematiky, metody řešení matematických úloh včetně diagnostických metod. Užívá účelně množinově-logickou symboliku. Student prokáže schopnost vyložit zadané téma z~následujících okruhů učiva. Zaměří se na motivaci pojmů a~vět s~důrazem na matematické modely a~na objekty z~reálného světa, na zavedení pojmů a~studium jejich vlastností. Umí je využívat při řešení matematických úloh včetně úloh z~praxe.
|