|
|
|
||
|
Last update: Mgr. Dina Novotná Obeidová (17.08.2021)
Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce
Matematická analýza
1. Posloupnosti reálných čísel, limity. Limita posloupnosti (vlastní a~nevlastní), Bolzanova-Cauchyova podmínka. Věty o~limitách. Vybrané posloupnosti.
2. Elementární funkce a~jejich zavedení. Goniometrické funkce a~cyklometrické funkce. Exponenciální funkce, přirozený a~obecný logaritmus, obecná mocnina, odmocnina. Vlastnosti těchto funkcí a~jejich vzájemné vztahy.
3. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Průběh funkce, užití vyšších derivací. Limita funkce, aritmetika limit, limita složené funkce, limitní přechod v~nerovnosti, limita monotónní funkce. Spojitost funkce v~bodě a~na intervalu, Heineova definice spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Derivace funkce, početní pravidla pro derivování, derivace inverzní funkce. Věty o~střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova a~Cauchyova. L'Hospitalovo pravidlo. Vztah derivace a~monotonie funkce, nutné a~postačující podmínky pro extrém. Taylorův polynom, Taylorova věta. Konvexnost a~konkávnost a~jejich souvislost s~druhou derivací funkce. Asymptoty.
4. Primitivní funkce, Newtonův integrál. Základní primitivní funkce. Integrace per partes. První a~druhá věta o~substituci. Integrace racionálních funkcí, základní typy substitucí.
5. Riemannův integrál. Zavedení Riemannova integrálu, geometrická interpretace. Riemannův integrál jako funkce horní meze. Newtonova-Leibnizova formule. Existenční věty pro Riemannův integrál. Nevlastní integrál. Délka křivky zadané parametricky, objem rotačního tělesa a~povrch jeho pláště, obsah plochy zadané parametricky.
6. Nekonečné číselné řady, mocninné řady. Součet řady, konvergentní a~divergentní řady, Bolzanova-Cauchyova podmínka, nutná podmínka konvergence. Řady s~nezápornými členy a~kritéria jejich konvergence: srovnávací, odmocninové, podílové a~integrální kritérium, limitní tvary kritérií. Řady se střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium. Absolutně a~neabsolutně konvergentní řady. Mocninná řada a~její konvergence, poloměr konvergence. Derivace a~integrace mocninné řady člen po členu.
7. Diferenciální rovnice. Věty o~existenci a~jednoznačnosti řešení počáteční úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic (rovnice se separovanými proměnnými, lineární rovnice prvního a~vyššího řádu). Lineární rovnice prvního a~vyššího řádu: existence a~jednoznačnost řešení, struktura množiny řešení, variace konstant, rovnice s~konstantními koeficienty, speciální tvary pravé strany.
8. Funkce více proměnných. Limita a~spojitost. Parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciál, gradient. Derivace složené funkce. Věta o~inverzní funkci. Věta o~implicitní funkci. Lokální extrémy, vázané extrémy, metoda Lagrangeových multiplikátorů.
Algebra a~lineární algebra
1. Relace, zobrazení a~jejich základní vlastnosti. Relace a~jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání, příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní, surjektivní a~bijektivní), skládání zobrazení; jádro a~obraz zobrazení, rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a~injekci.
2. Vektorový prostor, báze, dimenze, lineární zobrazení. Vektorový prostor se skalárním součinem. Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a~nezávislost, báze a~dimenze konečně generovaného vektorového prostoru, věta o~dimenzích spojení a~průniku. Vlastnosti homomorfismu, věta o~hodnosti a~defektu. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru, ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Prostor se skalárním součinem, Cauchyova-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.
3. Matice a~jejich vlastnosti, užití k~řešení soustav lineárních rovnic. Podobnost matic. Hodnost matice, regulární a~singulární matice, inverzní matice, matice homomorfismu. Frobeniova věta o~řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o~dimenzi vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy. Užití matic k~řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda. Vlastní čísla a~vlastní vektory, podobnost matic, Jordanova báze, Jordanův kanonický tvar. Charakteristický a~minimální polynom.
4. Lineární a~bilineární formy. Lineární formy, duální prostor, duální báze. Bilineární a~kvadratické formy a~jejich matice, polární báze, normální báze, Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem, signatura.
5. Determinanty a~jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo. Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o~rozvoji determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí determinantů. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů. Věta o~násobení determinantů. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla.
6. Přirozená a celá čísla, dělitelnost Přirozená čísla, Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání. Konstrukce oboru integrity celých čísel. Dělitelnost, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Eukleidův algoritmus a~Bézoutova věta, Eukleidovo lémma, Základní věta aritmetiky. Numerační soustavy o~různých základech. Prvočísla, Eratosthenovo síto, mohutnost množiny všech prvočísel. Fermatova čísla a~prvočísla. Přirozená čísla jako svaz. Kongruence modulo n, odvození kritérií dělitelnosti. Malá Fermatova věta.
7. Čísla racionální, reálná a~komplexní. Konstrukce pole racionálních čísel, podílové pole. Reálná čísla (Dedekindovy řezy, desetinné rozvoje, cauchyovské posloupnosti, axiomatický popis R), iracionalita. Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel racionálními. Algebraická a~transcendentní čísla. Pole komplexních čísel, zavedení, vlastnosti. Algebraický a~goniometrický tvar, operace a~jejich geometrické znázornění, Moivreova věta a~její aplikace. Mohutnosti číselných oborů.
8. Grupy a~jejich homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi. Binární operace na množině. Pojem grupy, grupa permutací, grupy symetrií pravidelných n-úhelníků, další příklady. Podgrupy a~jejich vlastnosti, svaz podgrup. Cyklické grupy a~jejich vlastnosti. Lagrangeova věta. Homomorfismy grup, příklady. Jádro a~obraz homomorfismu a~jejich vlastnosti. Faktorizace grupy podle normální podgrupy. Příklady. Okruh, obor integrity, těleso, pole, příklady.
9. Základní pojmy dělitelnosti v~komutativním oboru integrity. Relace dělitelnosti a~asociovanosti v~oboru integrity. Příklady eukleidovských oborů integrity a~příklady na užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.
10. Rovnice. Základní věta algebry. Rovnice 1., 2. a~3. stupně, metody jejich řešení řešení, casus irreducibilis. Vietovy vzorce. Racionální a~celočíselné kořeny algebraických rovnic s~celočíselnými koeficienty, algebraická a~transcendentní čísla. Reciproké rovnice. Lineární diofantické rovnice, Pellova rovnice.
11. Posloupnosti, průměry. Aritmetická a~geometrická posloupnost. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů. Geometrická řada a~harmonická řada. Aritmetický, geometrický a~harmonický průměr, jejich vztah a~geometrické znázornění.
Geometrie
Syntetická geometrie
1. Planimetrie (věty i~s~důkazy). Pojmy: části přímky (úsečka, polopřímka), vzájemná poloha dvou přímek v~rovině, odchylka přímek, části roviny (úhel, polorovina, rovinný pás), dvojice úhlů (vrcholové, vedlejší, souhlasné, střídavé úhly).
Základní věty geometrie trojúhelníku: Thalétova, Eukleidovy, Pýthagorova a~její zobecnění (např. Hippokratovy měsíčky), sinová, kosinová, součet vnitřních úhlů. Trojúhelníková nerovnost. Těžiště a~ortocentrum, Eulerova přímka, střední příčky, osy stran a~osy úhlů, kružnice opsaná, vepsaná a~připsaná. Konstrukce trojúhelníku z~daných prvků. Aplikace vět o~shodnosti a~podobnosti trojúhelníků.
Klasifikace a~vlastnosti čtyřúhelníků, konstrukce; vlastnosti tečnových a~tětivových čtyřúhelníků (Ptolemaiova věta, součty vnitřních úhlů). Konvexní mnohoúhelníky (součet vnitřních úhlů, počet úhlopříček), pravidelné n-úhelníky a~jejich vlastnosti. Kružnice a~její vlastnosti (tečny, tětivy, obvodové a~středové úhly, úsekový úhel, mocnost bodu ke kružnici, chordála dvou kružnic), konstrukce. Vzájemná poloha dvou kružnic. Apollóniovy úlohy. Obvody a~obsahy rovinných útvarů, např. obsah trojúhelníku, Hérónův vzorec, obsah čtyřúhelníku a~n-úhelníku. Obsah a~obvod kruhu a~jeho částí. Shodnosti, podobnosti, stejnolehlost. Užití shodností a~stejnolehlosti v~konstrukčních úlohách. Skládání shodností, posunutá souměrnost. Kruhová inverze. Axiomatický přístup k~výstavbě geometrie.
2. Stereometrie (věty i~s~důkazy). Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání. Základní stereometrické věty a~jejich důkazy (rovnoběžnost přímky a~roviny, rovnoběžnost dvou rovin, vzájemná poloha tří rovin, kolmost přímky a~roviny, kolmost dvou rovin). Průnik přímky s~tělesem, průsečnice rovin, řezy mnohostěnů. Vzdálenosti a~odchylky bodů, přímek, rovin. Mnohostěny, Eulerova věta. Pravidelné mnohostěny (Platónská tělesa, jejich počet a~vlastnosti). Objem a~povrch těles a~jejich částí, Cavalieriho princip. Geometrická zobrazení v~prostoru (shodnosti, podobnosti).
3. Zobrazovací metody. Princip rovnoběžného a~středového promítání. Osová afinita, elipsa jako afinní obraz kružnice, konstrukce elipsy vycházející z~osové afinity (Rytzova, trojúhelníková), užití osové afinity při konstrukci řezů hranolů a~válců. Základy Mongeova promítání. Základy kosoúhlého promítání a~průměty jednoduchých těles. Základy lineární perspektivy.
Analytická geometrie
1. Afinní prostor. Afinní prostor a~jeho zaměření. Lineární kombinace bodů. Lineární soustava souřadnic. Podprostor a~jeho parametrické vyjádření. Obecná rovnice nadroviny (odvození pomocí lineárních forem), podprostor jako průnik nadrovin, obecné rovnice podprostoru. Vzájemná poloha podprostorů. Orientace afinního prostoru.
2. Eukleidovský prostor. Skalární součin, eukleidovský prostor a~jeho podprostory, obecná rovnice nadroviny. Vnější součin, vektorový součin a~jejich základní vlastnosti. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost podprostorů. Odchylka dvou přímek, dvou nadrovin, přímky a~nadroviny, odchylka přímky a~podprostoru. Vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost bodu od nadroviny, vzdálenost podprostorů; osa dvou mimoběžných podprostorů, Gramův determinant. Příklady v~E<^>2 a~E<^>3.
3. Množiny bodů daných vlastností, kuželosečky. Apollóniova kružnice. Kuželosečky jako řezy kuželové plochy, Quételetova-Dandelinova věta. Definice, vlastnosti a~klasifikace kuželoseček. Kanonické rovnice kuželoseček a~jejich transformace. Ohnisková a~vrcholová rovnice kuželosečky. Parametrické vyjádření kuželoseček a~rovnice kuželoseček v~polárních souřadnicích. Bodové konstrukce elipsy (proužková součtová a~rozdílová, trojúhelníková, bodová podle definice), paraboly (bodová dle definice), hyperboly (bodová dle definice). Vzájemná poloha přímky a~kuželosečky.
4. Grupy geometrických zobrazení. Dělicí poměr, afinní zobrazení, asociovaný homomorfismus. Afinity (základní afinity, homothetie), samodružné body a~směry, příklady v~A<^>2 a~A<^>3 včetně analytického vyjádření. Projekce. Shodnosti, podobnosti, samodružné body a~směry, příklady v~E<^>2 a~E<^>3 včetně analytického vyjádření, klasifikace v~E<^>2. Stereografická projekce, analytické vyjádření a~vlastnosti kruhové inverze. Grupy geometrických transformací.
Diferenciální geometrie
1. Křivky v~rovině a~v~prostoru. Parametrické vyjádření křivky, příklady. Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a~Frenetovy vzorce v~rovině a~v~prostoru, křivost a~torze.
2. Plochy v~prostoru. Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a~druhá základní forma plochy a~jejich užití. Hlavní směry a~hlavní křivosti plochy, střední a~Gaussova křivost. Zobrazení mezi plochami (izometrie, konformní zobrazení). |