Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (07.02.2023)
Zkouška bude písemná (početní část) a ústní (teoretická část). Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.
Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.
Syllabus -
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (07.02.2023)
1. Introduction to the complex analysis:
Holomorfic function, Cauchy-Riemann equations, line integral in the complex domain, primitive function. Cauchy theorem, Cauchy formula, Liouville theorem. Taylor series, function holomorfic between circular contours, isolated singularities, Laurent series. Residue and Residue theorem.
2. Fourier transform of functions
Definition and basic properties. Schwartz space, L1 and L2 theory, inversion theorems, convolution, application to ODE and PDE.
3. Distributions
space D(Ω), topology, continuous linear functionals on D(Ω), order of distributions, convergence on D′(Ω), support of distributions, characterization of distributions of order 0 and non-negative distributions, derivative of distributions and its properties, approximation of δ-distributions by functions, Fourier series, Poisson summation formula, composition of distributions with diffeomorfisms, distributions with compact and point support, homogeneous distributions and their normalization.
4. Tempered distributions, integral transform of distributions
space of tempered distributions, convergence on S(R^N) and on S′(R^N), Fourier transform of tempered distributions, basic properties, tensor product of distributions and tempered distributions, convolution of distributions and tempered distributions, their Fourier transform, non-integer derivative, Fourier transform of selected distributions, Paley–Wiener theorem and its consequence, Fourier transform of radially symmetric funtions and distributions, surface measure.
Last update: doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. (22.02.2024)
0. Fourierovy řady
Komplexní a integrální tvar. Věta o konvergenci, Parsevalova rovnost. Vztah hladkosti funkce a chování Fourierových koeficientů. Integrování Fourierovy řady. Abstraktní Fourieorovy řady v Hilbertově prostoru, prostory L^p a jejich základní vlastnosti.
1. Komplexní analýza
Holomorfní funkce, komplexní derivace, Cauchy-Riemannovy podmínky. Komplexní křivka a křivkový integrál, délka křivky, definice primitivní funkce. Výpočet křivkového integrálu pomocí primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě, jednoduše souvislá oblast. Cauchyova věta a Cauchyův vzorec. Taylorovy a Laurentovy řady. Reziduová věta a její použití k výpočtům. Liouvilleova věta. Věta o jednoznačnosti.
2. Fourierova transformace funkcí
Schwartzův prostor S(R^N) (prostor rychle klesajících funkcí) a jeho vlastnosti. Fourierova transformace pro funkce z S(R^N), Vztah F.T. a derivace. Konvoluce, F.T. konvoluce. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci pro fce z S. Rozšíření F.T. do prostoru L^1 a L^2. Parsevalova rovnost, věta o inverzi pro funkce z L^1 a L^2. Základní použití F.T. pro řešení ODR a PDR.
3. Distribuce
prostor D(Ω), topologie, spojité lineární funkcionály nad D(Ω), řád distribuce, konvergence na D′(Ω), nosič distribuce, charakterizace distribucí řádu 0 a nezáporných distribucí, derivace distribucí a její vlastnosti, aproximace δ-distribucí funkcemi, Fourierovy řady, Poissonova sumační formule, skládání distribucí s difeomorfismy, distribuce s kompaktním a bodovým nosičem, homogenní distribuce, jejich normalizace.
4. Temperované distribuce, integrální transformace distribucí
prostor temperovaných distribucí, konvergence na S(R^N) a na S′(R^N), Fourierova transformace temperovaných distribucí, základní vlastnosti, tenzorový součin distribucí a temperovaných distribucí, konvoluce distribucí a temperovaných distribucí, její Fourierova transformace, necelé derivace, Fourierova transformace vybraných distribucí, Paley–Wienerova věta a její důsledky, Fourierova transformace radiálně symetrických funkcí a distribucí, plošná míra.
