Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, NOFY151,
NOFY152, and Linear algebra I+II, NOFY141, NOFY142.
Last update: Mgr. Hana Kudrnová (30.06.2020)
Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy
NOFY151, NOFY152 a Lineární algebru (I+II) , kódy NOFY141, NOFY142.
Aim of the course -
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II and Linear algebra I+II.
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NOFY151,
NOFY152 a Lineární algebru (I+II) , kódy NOFY141, NOFY142.
Course completion requirements - Czech
Last update: doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. (13.10.2023)
Zápočet: úspěšné napsání zápočtových písemek.
Udělený zápočet je podmínkou účasti na zkoušce.
Zkouška: bude sestávat ze dvou částí, početní (písemné) a teoretické (ústní).
Na výsledku zkoušky se obě části podílejí stejnou měrou. Podrobnosti viz webové stránky přednášejícího.
Literature - Czech
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
Kopáček, J. a kol.: Matematika pro fyziky, díly III-V, skriptum MFF UK, Matfyzpress
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
přednáška + cvičení
Requirements to the exam - Czech
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
Zkouška bude písemná a bude mít 2 části, početní a teoretickou. Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.
Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.
Syllabus -
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
1. Sequences and series of functions
Pointwise and uniform convergence; criteria for uniform convergence of sequences and series of functions; interchanging of limits, derivative and integral of sequences and series of functions; power series; real analytic functions.
2. Lebesgue integral
Sigma-algebras, measures; construction of the Lebesgue measure; measurable functions; approximation of measurable fuunctions by simple functions; integral of simple non-negative functions; integral of general functions and its properties; limite passage through the integral; relations among Riemann, Newton and Lebesgue integral; integral dependent on parameters; Fubini's theorem, change of variables.
The notion of a curve, line integrals of 1st and 2nd kind. Potential and curl-free vector fields.
4. Surface integral in general dimension
The notion of a surface, orientation of a surface. Surface integrals of 1st and 2nd kind, Gramm determinant, Gauss-Ostrogradskij, Green and Stokes theorems. Integral representations of div and curl operators.
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (21.09.2022)
1. Posloupnosti a řady funkcí
Bodová a stejnoměrná konvergence. Weierstrassovo kritérium, Abelovo, Dirichletovo a Leibnizovo kritérium.Limita a spojitost, záměna limit, záměna limity a součtu řady, záměna limity a derivace, sumy a derivace, neurčitého integrálu a limity (sumy), určitého integrálu a limity (sumy). Abelova věta o konvergenční kružnici u mocninných řad.
2. Vícerozměrný integrál
Elementy teorie míry, vnější míra, míra, měřitelné množiny a jejich vlastnosti, Lebesgueova míra a její vlastnosti, pojem "skoro všude". Měřitelné funkce a operace s nimi. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti. Fubiniho věta a věta o substituci, regulární substituce. Věty o limitních přechodech: Leviho, Lebesgueova, Fatouova, integrabilní majoranty. Integrály s parametrem, limita, spojitost a derivování podle parametru.
3 Lebesgueovy prostory
Definice, norma, základní vlastnosti. Husté podmnožiny. Aproximace pomocí zhlazení regularizátorem.
3. Křivkový integrál
Křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka. Tečný a normálový vektor. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, souvislost obou integrálů, nezávislost na parametrizaci. Potenciál vektorového pole. Výpočet integrálu druhého druhu pomocí potenciálu. Nulová rotace a souvislost s existencí potenciálu.
4. Plošný integrál
2D plocha v dimenzi 3 a její normálový vektor. Plošný integrál 1. druhu a jeho interpretace. Orientovaná plocha, spojité pole jednotkových normál. Plošný integrál 2. druhu. Souvislost mezi integrálem 1. a 2. druhu. Grammův determinant a různá zadání plochy. Gauss-Ostrogradského věta, věta o divergenci, integrální reprezentace divergence, Greenovy formule. Stokesova věta, integrální interpretace rotace. Poznámky o plošném integrálu v dimenzi n.
5. Fourierovy řady
Fourierovy koeficienty a Fourierova trigonometrická řada. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L2 funkce. Derivování a integrování Fourierových řad člen po členu. Abstraktní Fourierovy řady: Hilbertův prostor, ortogonální systém, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému. Různé ortogonální systémy, aplikace: prostory s vahami, souvislost ortogonálních systémů s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod.
