This course gives, together with parallel
courses on analysis, a basic course of mathematics
for physicists. Emphasis is given also to
relationship of all these disciplines.
Keywords: selfadjoint operators,
quadratic forms, tensors.
Last update: Mgr. Hana Kudrnová (20.05.2019)
Přednáška poskytuje, spolu s paralelní přednáškou analýzy,
základní matematický kurs pro studenty fyziky.
Důraz je kladen i na propojení znalostí
všech těchto oboru.
Klíčová témata přednášky:
Jordanův tvar, samoadjungované operátory, kvadratické formy,
tensory.
Course completion requirements - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (15.02.2022)
Předmět je zakončen složením zápočtu a zkoušky. Složení zápočtu je podmínkou pro účast u zkoušky. Podmínky zkoušky jsou specifikovány v dokumentu Požadavky ke zkoušce. Zápočet je udělován za průběžnou a systematickou práci na cvičení a jeho povaha tedy vylučuje možnost opakování, s výjimkou zápočtového testu.
Pro získání zápočtu bude třeba splnit současně tři kritéria:
aktivní účast na cvičeních
domácí úkoly
zápočtové testy
Podrobné informace na webu kurzu https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS2122
Literature - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (14.02.2020)
D. Šmíd: Lineární algebra pro fyziky, elektronická skripta, dostupná na stránce kurzu
L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (09.03.2021)
Zkouška se skládá ze dvou částí, orientačního a zkouškového testu. Podmínkou složení zkoušky je úspěšné složení obou částí.
Orientační test obsahuje 5 otázek rovnoměrně pokrývajících sylabus předmětu v rozsahu, v jakém byl odpřednesen. Cílem orientačního testu je ověřit znalost základních pojmů a tvrzení z přednášky a porozumění jim, přesné požadavky jsou specifikovány na webu kurzu. Test je úspěšně složen získáním alespoň 70% bodů z něj.
Cílem zkouškového testu je ověřit hloubku znalostí studenta, zejména co se týče porozumění vztahům mezi pojmy z přednášky, schopnosti řešit problémy a formulace důkazů tvrzení. Podle součtu bodového ohodnocení v obou testech bude stanovena známka.
Může následovat ústní dozkoušení, po níž může být známka upravena oběma směry.
Syllabus -
Last update: Mgr. Hana Kudrnová (20.05.2019)
1) Exponential of a matrix. Basic properties (similarity of matrices, eigenvectors, exponential of a sum). The relation Tr A = det exp A . Examples (Taylor polynomial, exponential of a commutator)
2) Elementary introduction to Lie algebras. Examples: gl, sl, o, u, su. Isomorphism of vector multiplication resp. commutation in o(3).
3) Nilpotent operators. Basic theorem on their structure and Jordan basis
4) Direct decomposition of a complex vector space according to its spectrum, Jordan theorem. Hamilton Cayley theorem. Exponential of a Jordan cell, applications to systems of linear differential equations with constant coefficients (and special choices of "external forces")
5) Positive and stochastic matrices, interpertation of their spectral radius, applications
6) Dual space, dual bases and operators
7) Duality and scalar product: Adjoint operator, normal operators. Adjoint differential operators and the method of per partes.
8) Spectral decomposition of a normal operator. Examples, Legendre and Hermite polynomials
9) Bilinear and quadratic forms, their diagonalization by a) change of cooordinates (method by "completing the squares") b) Jacobi Sylvester orthogonalization method c) diagonalization by spectral decomposition. Signature
10) Quadratic surfaces and conic sections, their classification (hyperboloids, elipsoids, paraboloids) and basic properties. Projective space.
11) Polar decomposition of an operator
12) Pseudoinverse of a matrix
13) Tensor product of linear spaces, definition, examples, "decomposable" tensors
14) Transformation rules for tensors, covariant and contravariant indices, summation convention
15) Tensor product of tensors, trace of a tensor. Tensors and scalar products, representation of covariant tensors by contravariant ones
16) Symmetric tensors, symmetrization of a (product of) tensor(s)
17) Antisymmetric tensors, antisymmetrization, exterior (Grassmann) algebra. The notion of a k-dimensional volume in n -dimensional vector space. Gramm matrix and the Gramm determinant (for general, non square matrix)
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (14.02.2020)
Exponenciála matice. Definice, základní vlastnosti (vlastní vektory exponenciály, exponenciála podobných matic). Vztah Tr A a det exp A . Příklady .
Pojem Lieovy algebry a příklady : g = gl, sl, o, u, su. Vztahy typu exp g = G. Izomorfismus vektorového násobení a komutování v o(3).
Teorie nilpotentních operátorů. Ekviv. charakterizace pomocí spektra, příklady (operátory derivování na polynomech). Studium posloupnosti kořenových podprostorů k-tého řádu a alternativně k-násobných obrazů. Nezávislost vůči podprostoru. Konstrukce počátečních vektorů řetězců dávajících Jordanovu basi prostoru .
Direktní rozklad prostoru na kořenové podprostory daného operátoru . Obecná Jordanova věta. Věta Hamilton Cayleyho. Exponenciála Jordanovy matic s použitím na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.
Positivní a stochastické matice. Hledání největšího vlastního čísla iterací. Interpretace příslušného vlastního vektoru (stacionární stav systému).
Dualita a skalární součin: věta o representaci lineární formy (skalárním násobením vhodným vektorem). Pojem adjungovaného operátoru. Samoadjungované (Hermitovské), unitární, obecněji normální operátory. Adjunkce diferenciálního operátoru a metoda per partes.
Věta o spektrálním rozkladu normálního operátoru. Příklad - operátor derivování na trigonometrických polynomech. Funkce normálního operátoru. Ortogonální polynomy (příklad : Hermitovy, Legendreovy) jako výsledek ortogonalizačního procesu ve vhodném skalárním součinu (alternativně jako vlastní vektory vhodného diferenciálního operátoru). Kreační a anihilační operátor.
Bilineární a kvadratické formy . Diagonalizace Hermitovské formy : a) doplněním na čtverec b) Jacobi Sylvesterův zápis ortogonalizačního procesu (zvl. pro positivně definitní formy) c) diagonalizace pomocí spektrálního rozkladu representujícího operátoru formy (dávající ortog. \"hlavní osy\" formy). Signatura formy a způsoby jejího zjištování .
Kvadriky (a kuželosečky), klasifikace a vlastnosti (omezenost, přímkové plochy, vlastnosti rovinných řezů). Zmínka o projektivním prostoru. Význam paraboloidů v analýze funkcí více proměnných (lokální extrémy, sedlové body funkcí).
Polární rozklad obecného operátoru na kompozici unitárního a Hermitovského operátoru (resp. unitárního, diagonálního, unitárního operátoru) .
Pseudoinverse obdélníkové matice.
Pojem tensorového součinu vektorových prostorů, isomorfismy mezi různými definicemi, jako je formální lineární obal kartézského součinu basí, množina multilineárních funkcionálů na součinu duálů, faktorprostor formálního lineárního obalu kartézského součinu prostorů . Rozložitelné tensory. Příklady tensorů: vektory, kovektory, bilineární formy, strukturní tensor algebry, determinant jako multilineární funkce sloupců, fyzikální příklady.
Složkový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.kový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
