Elliptic Curves and Cryptography - NMMB538

• Title: Eliptické křivky a kryptografie
• Guaranteed by: Department of Algebra (32-KA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2020
• Semester: winter
• E-Credits: 6
• Hours per week, examination: winter s.:3/1, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
• Class: M Mgr. MMIB; M Mgr. MMIB > Povinně volitelné; M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Classification: Mathematics > Algebra
• Incompatibility : NMIB015
• Pre-requisite : NMAG436
• Interchangeability : NMIB015
• Is interchangeable with: NMIB015

Annotation

English

Last update: T_KA (14.05.2013)

The course introduces into arithmetics of elliptic curves, to its implementation and to concrete algorithms and cryptosystems based on elliptic curves. It is assumed that the student is familiar with basic concepts of algebraic geometry (say, in the extent of the course "Algebraic geometry in positive characteristic").

Czech

Last update: T_KA (14.05.2013)

Přednáška seznamuje s aritmetikou eliptických křivek, s jejich implementací a s konkrétními algoritmy a kryptosystémy založených na eliptických křivkách. Předpokládá se, že je student obeznámen se základními koncepty algebraické geometrie (v rozsahu přednášky NMIB013 Algebraická geometrie v kladné charakteristice)

Course completion requirements

Last update: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Udělení zápočtu je nezávislé na složení zkoušky. Zápočet se uděluje za aktivitu během cvičení provázenou vypracováním určitého množství domácích úkolů. Pokud nebude druhý parametr naplněn, je možné zápočet získat vypracováním dodatečných úkolů. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.

Pokud distanční výuka bude trvat po většinu semestru, je udělení zápočtu vázáno na splnění domácích úloh.

Literature

Last update: T_KA (14.05.2013)

Silverman: The arithmetic of elliptic curves, Springer Verlag 1986;

Blake, Seroussi, Smart: Elliptic curves in cryptography, Cambridge Univ. Press 1999;

Cremona: Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge Univ. Press 1992.

Teaching methods

Last update: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Distanční výuka probíhá formou zasílání jednotlivých kapitol přednášky a současně návazných domácích úkolů, které musí být průběžně vypracovány. Předpokládá se aktivita studentů v případě, že některá část textu nebo úkolu nebude srozumitelná nebo bude vyžadovat výpomoc vyučujícího. Ta je možná formou osobní konzultace, emailové konzultace nebo internetové konzultace v reálném čase.

Requirements to the exam

Last update: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemná část má charakter vyřešení jednoduchých příkladů generického typu, přesné formulace hlavních tvrzení a důkazu vybraných tvrzení. Výsledek písemné části je se studentem prodiskutován. Může být vyzván k opravě některých částí písemné zkoušky. Pokud ani po takové opravě není výsledek dostačující, je zkouška ukončena. Ústní část má zpravidla charakter doplnění nebo rozvinutí některého z témat písemné zkoušky formou dialogu s přednášejícím.

Pokud distanční výuka potrvá po většinu semestru, tak bude písemná část nahrazena rozsáhlou zkouškovou úlohou, která komplexně prověří zvládnutí látky a bude diskutována během zkoušky. Jako zásadní je považována znalost fundamentální rovnosti, struktury

Galoisových a ryze neseparabilních rozšíření algebraických funkčních těles, komutování normy a hlavních divisorů, využití téhož pro izogenie eliptických křivek, odvození a vlastností j-invariantu, duálních izogenií, struktury konečných podgrup grupy eliptické křivky a vlastností Weilova párování. Důkazy u posledních třech témat budou požadovány jen v omezeném rozsahu, podle vývoje přednášky. To bude na závěr přednášky upřesněno.

Syllabus

English

Last update: T_KA (14.05.2013)

Arithmetic of elliptic curves (Weierstrass equation, isomorphisms and endomorphisms, invariants, chord and tangent process), influence of characteristics, division polynomials, Weil pairing). Effective implementation (addition and multiplication of points, Frobenius expansion, compression of points). Algorithmic complexity of elliptic curves. Schoof algorithm and its extensions.

Czech

Last update: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Projektivní křivky a jejich funkční tělesa.

Racionální zobrazení a morfismy křivek.

Rozšíření algebraických funkčních těles a jejich využití. (Rozšiřování základního tělesa, vlastnosti racionálních zobrazení.)

Norma a konorma.

Izogenie eliptických křivek.

Popis izogenií pomocí separability a Frobeniova endomorfismu.

Struktura konečných podgrup grupy eliptické křivky.

Weilovo párování.

Edwardsovy křivky a jejich význam pro kryptografii.

Entry requirements

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (11.06.2019)

Znalosti na úrovni přednášky NMAG436 Křivky a funkční tělesa.