Harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis of partial
differential equations in R^n for other groups than the abelian R^n.
Second part of lecture.
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související
analýzu parciálních diferenciálních rovnic v R^n pro jiné než translační
abelovskou grupu R^n. Druhá část přednášky.
Aim of the course -
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Study of non-commutative analysis.
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Naučit základy nekomutativní harmonické analýzy.
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (25.09.2023)
We test the knowledge of definitions, theorems, and their application.
The exam is oral with a written preparation.
Credit is given for active participation, proving easy theorems or computing examples. Credit is not necessary for entering the exam.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.06.2023)
Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných
situacích. Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zápočet je udělen za
aktivní účast na cvičeních, kde se dokazují snadná tvrzení nebo
počítají příklady z harmonické analýzy. Zápočet není podmínkou pro získání zkoušky.
Literature -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (22.02.2019)
Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford
Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton
Kirillov, A., Representation theory and Noncommutative Harmonic Analysis I, II, Springer
Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS
Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (22.02.2019)
Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford
Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton
Kirillov, A., Representation theory and Noncommutative Harmonic Analysis I, II, Springer
Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS
Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer
Teaching methods -
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Lecture and exercise.
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Přednáška a cvičení
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (22.02.2019)
We test definitions and theorems and its application in clearly arranged situations.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (22.02.2019)
Zkouší se definice a věty a jejich aplikace v přehledných situacích.
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (25.09.2023)
1) Universal enveloping algebra of a Lie algebra and the theorem of Poincaré--Birkhoff--Witt. Filtration, associated gradation, and the Noether feature of universal enveloping algebras.
2) Verma modules: Recall of representation theory of simple Lie algebras - Cartan subalgebra, roots, co-roots, positive and simple roots, fundamental weights, Weyl group and Bruhat ordering.
Weights) of representations of semi-simple Lie groups, semi-lattice of non-negative weights. Verma modules - definition, weight property, irreducibility characterization. Description of irreducible and finite-dimensional simple Lie algebra modules. Citation of Bernstein--Gelfand--Gelfand theorem on a connection of homomorphisms of Verma modules and Bruhat ordering.
3) Theorem of (Bott--)Borel--Weil (solutions of Laplace equation on complex flag manifolds): smooth locally trivial fibrations - vector, principal and associated fibrations. Holomorphic manifolds and fibrations. Flag manifolds - Borel and compact presentation of flag manifolds: spheres, projective spaces, Grassmannians, especially Gr_2(4, C). Some results of the structure and representation theory of semi-simple Lie groups. Holomorphic sections for Borel presentations. Formulation of the Borel--Weil theorem and its proof for the complex projective line.
Eventually, the unitary dual of SL(2,R).
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (25.09.2023)
2) Vermovy moduly: Opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber - Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, ko-kořeny, pozitivní a jednoduché kořeny, Weylova grupa a Bruhatovo uspořádání, váhy a polomříž celočíselných nezáporných vah. Vermovy moduly - definice, váhovost, ireducibilita. Ireducibilní konečně rozměrné reprezentací pomocí faktorů Vermovych modulu. Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě.
3) Věta Borela--Weila (popis řešení Laplaceovy rce na homogenních prostorech pro jednoduché Lieovy grupy): lokálně triviální fíbrace - vektorové, hlavní a asociované fíbrace. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety - borelovská a kompaktní prezentace, příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Některé výsledky strukturní teorie a reprezentací jednoduchých Lieových algeber. Holomorfní sekce pro borelovské prezentace. Formulace Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1.
