Subjects

Your browser does not support JavaScript, or its support is disabled. Some features may not be available.

Curves and Function Fields - NMAG436

Title:	Křivky a funkční tělesa
Guaranteed by:	Department of Algebra (32-KA)
Faculty:	Faculty of Mathematics and Physics
Actual:	from 2022
Semester:	summer
E-Credits:	6
Hours per week, examination:	summer s.:3/1, C+Ex [HT]
Capacity:	unlimited
Min. number of students:	unlimited
4EU+:	no
Virtual mobility / capacity:	no
State of the course:	taught
Language:	Czech, English
Teaching methods:	full-time
Teaching methods:	full-time

Guarantor:	prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
Class:	M Mgr. MMIB M Mgr. MMIB > Povinně volitelné M Mgr. MSTR M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
Classification:	Mathematics > Algebra
Incompatibility :	NMIB013
Interchangeability :	NMIB013
Is pre-requisite for:	NMMB538
Is interchangeable with:	NMIB013

Opinion survey results Examination dates SS schedule Noticeboard

Annotation -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (13.09.2013)

The course develops basic concepts of algebraic geometry and curve theory, both over general fields and over finite fields.

Course completion requirements -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.02.2020)

The course is ended by a written exam followed by an oral exam based on the results of the written one. The test will consist of three questions on the presented theory and of two application tasks. Students can write one midterm test in the middle of the semester (probably on 7th April).

The resulting grade is based either on the final exam or on combination of the midterm test (40%) and of the final exam (60%) depending on which option will be more advantageous for the student.

Literature -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.02.2020)

H. Stichtenoth: Algebraic function fields and codes. Graduate texts in mathematics 254, Springer, 2009

R. Hartshorne: Algebraic geometry Graduate Texts in Mathematics 52, Springer 1977

V. Salvador, G. Daniel: Topics in the theory of algebraic function fields. Birkhäuser, Boston 2006.

W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008, http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Requirements to the exam -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.02.2020)

The course is ended by a written exam followed by an oral exam based on the results of the written one. The requirements correspond to the syllabus and the material presented during the lectures.

Syllabus -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (13.09.2013)

The course develops basic theory of algebraic function fields (Riemann-Roch Theorem etc.) and shows links to function fields of curves. The final part of the course is devoted to elliptic function fields.

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)

1. Připomínka některých algebraických pojmů a výsledků (prvoideály, algebraické

prvky, Gaussovy obory, ireducibilní prvky v R[x], kde R je Gaussův, noetherovské

okruhy).

2. Maximální ideály v K[x_1,\dots,x_n] pro K komutativní těleso (ne nutně

algebraicky uzavřené). Jejich popis jako prvoideálů s nenulovým průnikem s každým

K[x_i]. Výklad, že pro n = 2 lze popis získat pomocí existence největších společných

dělitelů v okruhu K(x)[y].

3. Struktura prvoideálů v K[x_1,x_2]. Planární afinní křivky a jejich ireducibilita.

Souřadnicový okruh.

4. Afinní automorfismy K[x_1,...,x_n] a práce s nimi. Chování tečen při jejich

aplikaci. Automorfismy K[x_1,x_2] indukují izomorfismy souřadnicových okruhů.

5. Funkční těleso křivky a algebraické funkční těleso. Zadání algebraického

funkčního tělesa rovnicí. Použití afinních automorfismů pro nalezení jiných zadání

téhož algebraického funkčního tělesa. Charakteristika algebraických prvků v

algebraických funkčních tělesech (těleso konstant).

6. Diskrétní valuační obory a jejich ekvivalentní popisy. Existence valuačních oborů

v tělesech. Jejich diskrétnost v algebraických funkčních tělesech. Valuace K(x).

Pojem místa. Konečnost stupně místa.

7. Hladkost křivky. V hladkém K-racionálním bodě křivky je maximální ideál lokálního

okruhu místem funkčního tělesa stupně jedna (konstruktivní důkaz založený na

vlastnostech polynomů).

8. Weierstrassova rovnice. Jejich ekvivalence nad K. Krátké formy (ve všech

charakteristikách). Izomorfismus s K(x) v případě singulárních rovnic.

9. Pojem divisoru a s ním asociovaného lineárního prostoru (zvaného též

Riemann-Rochův). Hlavní divisor prvku. Stupeň kladné i záporné části hlavního

divisoru transcendentního prvku x z algebraického funkčního tělesa F/K je roven

[F:K(x)]. Riemannova věta a rod. Třídová (Picardova) grupa.

10. Adèle a jejich prostor. Kodimenze prostoru adèle daného divisoru a index

specializace. Slabá a silná aproximační věta. Weilův diferenciál. Riemann-Rochova

věta.

11. Eliptické funkční tělesa. Každé z nich indukuje Weierstrassovu rovnici.

Weierstrassova rovnice popisuje eliptické funkční těleso právě když je nesingulární.

Místa stupně jedna v eliptickém funkčním tělese jsou v jednoznačném vztahu s prvky

Picardovy grupy i s K-racionálními body. To umožňuje přenést strukturu grupy na body

křivky, a tím popsat sčítání na Weierstrassově křivce jako sečno-tečný proces.

12. Diskriminant a j-invariant Weierstrassovy křivky (rovnice). Smyklé (twisted)

křivky.

13. Planární projektivní křivky. Funkční těleso homogenních polynomů ireducibilní

projektivní planární křivky. Místa stupně jedna nesingulární projektivní

ireducibilní planární křivky jsou v jednoznačném vztahu s K-racionálními body této

křivky.

Entry requirements -

Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (17.05.2019)

Basics of commutative algebra on level of the course Commutative rings.