A basic course of structure and representation theory of Lie groups and algebras, with emphasis on
complex semisimple Lie algebras. A recommended course for specialization Mathematical Structures
within General Mathematics.
Last update: T_MUUK (09.05.2013)
Základní kurs teorie reprezentací, která je jednou z důležitých a mocných teorií v matematice a fyzice 20. století.
Zavádějí se pojmy Lieovy grupy, Lieovy algebry, je vyjasněn vztah mezi nimi a mezi jejich homomorfismy a
reprezentacemi. Jsou uvedeny základní typy a příklady Lieových algeber (nilpotentní, řešitelné, jednoduché) a
největší pozornost se věnuje reprezentacím tzv. polojednoduchých algeber. Zavádějí se pojmy Cartanovy
podalgebry, vah, kořenů, jejichž pomocí se provede úplná klasifikace reprezentací i algeber samotných. Definuje
se též Cliffordova algebra, spinory a Spin-grupa.
Course completion requirements - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Ústní zkouška s přípravou, podrobnější podmínky na stránkách kurzu.
3) Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction
4) Fulton, Harris: Representation Theory: A First Course
5) Rossmann: Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups
6) Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
7) Gilmore: Lie Groups, Physics and Geometry
Requirements to the exam - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Podrobnosti na stránkách kurzu.
Syllabus -
Last update: Dr. Re O'Buachalla, Dr. (16.02.2022)
Lie algebra, homomorphisms of Lie algebra.
Left-invariant vector fields on Lie groups, Lie algebra of a Lie group, one-parametric subgroups of a Lie group, exponential map.
Correspondence between homomorphisms of Lie groups and homomorphisms of Lie algebras.
Basic facts on representations of Lie groups and algberas (restrictions of representations, factor-representation, contragredient representation, sum and tensor product of representations, intertwining maps, isomorphism of representations).
Irreducible representations of simple Lie algebras (classification of representations of sl(2,C), Cartan subalgebras, roots, positive roots, simple roots, weights, weight lattice, Weyl chambers, dominant weights, fundamental weights).
Classification of irreducible representations of four classical series, construction of fundamental representations, spinor representations.
Dynkin diagrams, classification of complex simple Lie algebras.
Lieova grupa,homomorfismus Lieových grup, representace Lieovy grupy.
Lieova algebra, příklady Lieových grup a algeber, homomorfismus Lieových algeber.
Levoinvariantní vektorová pole na Lieově grupě, Lieova algebra Lieovy grupy, jednoparametrická podgrupa Lieovy grupy, zobrazení exp z Lieovy algebry do Lieovy grupy a jeho vlastnosti.
Korespondence mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy jejich Lieových algeber.
Základní fakta o representacích Lieových grup a algeber - restrikce representace, faktorová representace, duální representace, součet a tensorový součin representací, splétající zobrazení, isomorfní representace, rozložitelné a ireducibilní representace.
Klasifikace representací pro čtyři základní řady klasických (komplexních) jednoduchých algeber, konstrukce ireducibilních representací odpovídajících fundamentálním vahám, spinorové representace.
