Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, NMAF051,
NMAF052, and Linear algebra I+II, NMAF027, NMAF028.
Last update: T_KMA (13.05.2008)
Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NMAF051,
NMAF052 a Lineární algebru (I+II) , kódy NMAF027, NMAF028.
Aim of the course -
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (08.10.2019)
Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, Mathematics for physicists I and Linear algebra I+II.
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (08.10.2019)
Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NMAF051,
NMAF052 a Lineární algebru (I+II) , kódy NMAF027, NMAF028.
Course completion requirements - Czech
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (08.10.2019)
Podmínkou účasti na zkoušce je udělený zápočet ze cvičení.
Zápočet: Na cvičení se budou psát 2 testy za celkem 50 bodů. Za domácí úkoly na cvičení můžete získat až 25 bodů. Zápočet dostanete, když získáte celkem alespoň 35 bodů. Zápočtové písemky je možno opravit, proběhne alespoň jedna opravná písemka.
Literature - Czech
Last update: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (11.01.2018)
Kopáček, J. a kol.: Matematika pro fyziky, díly III-V, skriptum MFF UK, Matfyzpress
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (08.10.2019)
Zkouška bude písemná a bude mít 2 části, početní a teoretickou. Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.
Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.
Student získá lepší známku ze dvou variant:
a/ výsledek u zkoušky b/ výsledek u zkoušky (2/3 bodů) a výsledek za cvičení (1/3 bodů)
To ale platí pouze v případě, kdy student zkoušku složí, tj. získá alespoň 50% bodů v součtu obou částí zkoušky, přičemž současně získá alespoň 44% bodů z početní části. V případě nerozhodné známky proběhne doplňující ústní zkoušení.
Syllabus -
Last update: T_KMA (13.05.2008)
1. Sequences and series of functions
Pointwise and uniform convergence; criteria for uniform convergence of sequences and series of functions; interchanging of limits, derivative and integral of sequences and series of functions; power series; real analytic functions.
2. Lebesgue integral
Sigma-algebras, measures; construction of the Lebesgue measure; measurable functions; approximation of measurable fuunctions by simple functions; integral of simple non-negative functions; integral of general functions and its properties; limite passage through the integral; relations among Riemann, Newton and Lebesgue integral; integral dependent on parameters; Fubini's theorem, change of variables.
3. Line integral in general dimension
The notion of a curve, line integrals of 1st and 2nd kind. Potential and curl-free vector fields.
4. Surface integral in general dimension
The notion of a surface, orientation of a surface. Surface integrals of 1st and 2nd kind, Gramm determinant, Gauss-Ostrogradskij, Green and Stokes theorems. Integral representations of div and curl operators.
5. Integration of differential forms
Outer algebras on linear vector space, differential forms, differentiation, outer differential, integral from a differential form. General Stokes theorem.
Last update: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (05.01.2018)
1. Posloupnosti a řady funkcí
Bodová a stejnoměrná konvergence. Weierstrassovo kritérium, Abelovo, Dirichletovo a Leibnizovo kritérium.Limita a spojitost, záměna limit, záměna limity a součtu řady, záměna limity a derivace, sumy a derivace, neurčitého integrálu a limity (sumy), určitého integrálu a limity (sumy). Abelova věta o konvergenční kružnici u mocninných řad.
2. Vícerozměrný integrál
Elementy teorie míry, vnější míra, míra, měřitelné množiny a jejich vlastnosti, Lebesgueova míra a její vlastnosti, pojem "skoro všude". Měřitelné funkce a operace s nimi. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti. Fubiniho věta a věta o substituci, regulární substituce. Věty o limitních přechodech: Leviho, Lebesgueova, Fatouova, integrabilní majoranty. Integrály s parametrem, limita, spojitost a derivování podle parametru. Lebesgueovy prostory Lp
3. Křivkový integrál
Křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka. Tečný a normálový vektor. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, souvislost obou integrálů, nezávislost na parametrizaci. Potenciál vektorového pole. Výpočet integrálu druhého druhu pomocí potenciálu. Nulová rotace a souvislost s existencí potenciálu.
4. Plošný integrál
2D plocha v dimenzi 3 a její normálový vektor. Plošný integrál 1. druhu a jeho interpretace. Orientovaná plocha, spojité pole jednotkových normál. Plošný integrál 2. druhu. Souvislost mezi integrálem 1. a 2. druhu. Grammův determinant a různá zadání plochy. Gauss-Ostrogradského věta, věta o divergenci, integrální reprezentace divergence, Greenovy formule. Stokesova věta, integrální interpretace rotace. Poznámky o plošném integrálu v dimenzi n.
5. Fourierovy řady
Fourierovy koeficienty a Fourierova trigonometrická řada. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L2 funkce. Derivování a integrování Fourierových řad člen po členu. Abstraktní Fourierovy řady: Hilbertův prostor, ortogonální systém, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému. Různé ortogonální systémy, aplikace: prostory s vahami, souvislost ortogonálních systémů s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod.
